ABC
premières équations -^ =^ = --,> ne renfermant pas les pa-
ramètres à éliminer, sont précisément les deux équations de
condition. Donc, pour que deux courbes du second degré soient
homolhétiques, il faut que les coefficients des termes du second
degré soient proportionnels.
386 — Il reste à examiner si les valeurs des paramètres
p, q, k sont réelles et finies; on évite cette discussion de la
manière suivante. Puisque les coefficients des termes du
second degré sont proportionnels, on peut les rendre égaux
en multipliant tous les termes de Tune des équations par un
facteur convenable; prenons donc les deux équations sous la
forme
(4) Aa;*-hBa;y-|-Cy*-+-D a?-hE y-f-F =o,
(5) Aa?»+Ba;y-HCy*-f-D^a?-HE'y4-F^=?o.
Nous distinguerons plusieurs cas suivant le signe de la quantité B« — 4AC.
1* B* — 4AC = o. Les deux lieux sont du genre parabole; si ces lieux sont effectivement deux paraboles, ils sont certainement semblables, puisque toutes les paraboles sont semblables; de plus, les axes des deux courbes, ^y^^^ 1^ même coefficient
angulaire ^ > sont parallèles, et, par suite, les courbes sont
homotbétiques.
2^ B* — 4AC <o. Les lieux sont du genre ellipse. Si, pour chaque courbe, on transporte les axes parallèlement à euxmêmes au centre de la courbe, les équations (4) et (5) de-
et la ligne brisée ODCM , on a
I/cosa = a? +yco8v +zco8(a^ {cos^=:a;co8v -hy +zco8>^ { cosy = « cosfA + y cos>. + %;
en projetant ces mêmes lignes sur la droite CI, on a
(5) 1 =r â? Gosa -h y cosp 4- z cosy.
Si, des équations (4), on tire les valeurs de a?, y, z,
COS«(l — C08*>>)4-C08fi(C0S>.C0Sft— C0Sv)4-C08y(C08>.C06v— COSft) . I — COS*X — C08*{A — C0S*v-h2C08XcO8(AC0Sv '
et qn*on les substitue dans Téquation (5), on obtient la relalion
cos'asîn«>. -f- cos* ^sinV H- co8*y sin*v + 2COsaco8 p (cos>co8fA — C08v) +• acosPcosy (cosfxcosv — cosX) + 2C08y cosa (cosvcosX — cosj*)
= 1 — COS*>. — COS* fJL — C08*v 4- 2 C08X C0S{iiG08v^
entre les trois angles formés par une directioB quelconque afec les axes obliques.
Si, dans Téquation (5), on remplace cosa» cosp, cosy par leurs valeurs tirées des équations (4), on a la formule
(8) p= a;' 4- y*H- z*-h ayz cos>. -f- 2zX cosfx + 2xy cosv,
qui donne la distance OM.
En projeunt sur la droite OV la droite OM et la ligne brisée ODGM, on a, comme préoédemmenti
{ cos V = â? cos a^ + y C08 P' + is cos y ;
en remplaçant x, y, z par leurs valeurs (6), on obtient la formule
r m^ co9aco8a'8in*X-f-cospcôsp'sin'[x-|-cosYcosY'9in«v+(cosaco8p'4" c<wpcosa')(coaXco8|i — eosv) -f-. . . "" 1 — cos* X — cos* ji — C08* V -|- 2 C08X cos(& cosv
qui donne l'angle des deux directions 01 et OF.
Le dénominatear commun ou le déterminant des formules (6) peut être mis sous une forme remarquable qu'il est bon de connaître ; on a
I — COS^X — COS* JJL — COS'v -h 2C08>. C08(il. COSV = (l — COS*^) (l — COS'fJ!.) — C0S*Xc08'(it. — C0S*V-f-2C0S\C08(JLC08V
=* 8iii*X 8in*(t — (co8^ cos ft — cosv)*
= (sinX sin [l — cosX cos(A-+-cosv)(8inX sin [A-f-cosX cosja — cosv)
= [cosv — cos (^ + ft)] [cos {>^ — (Jt.) — cosv]
= 4 gin — L-C — sin ^ — * sm ^ sm ^ •
*fv
