CHAPITRE II

Trfkm^fowm^tion des coordonniez.

Fig. 251.

40»— On veut remplacer les trois axes OX, OY, OZ par trois

autres aies (yx/, (VT, O'Z', respeclivemeat parallèles aux premi^s at dirigé» dapft le même §çû§ (flg, ?i5i). hà positioa des nouveaux axeç sera déterminée per ks coordonnées a, 6, c de la nouvelle origine (V, relativement aux anciens axes. Appelons x, y, z les coordonnées d'unl[)oiht quelcopqup M de Tespacç par rapport aux ppi^ijs axes, a/, y', z^ les coordonnées du même point par rapport aux nouveaux axes; en projetant successivement sur.çb^pun des trois axes primitifs, parallèlement au plan des deux autres, la droite OM et la ligne brisée 00' M, on a les relations

CPAKfiSXEIST DE LA DIRECTION DES AXES-

410--Considérons maintenant le cas où Ton change la direction des axes, Torigine demeurant la même. Désignons par a, 5, e les cosinus des angles que fait l'axe OX' avec les trois axes OX, OY, 02, par a', V, & et a% 6^ c" les quantités analogues pour Of et OZ', et, enfin, par X, t*, v to a&gies YOZ, ZOX, XOY (fig. 252).

Soit M un point quelconque de l'espa<;e; par le point M, menons une parallèle MC à l'axe OZ, et par le point C, où cette droite perce le plan XOY, une parallèle CD à i'axe OY; les trois longueurs OB, DC, CM, prises avec les signe* convenables, sont les coordonnées x, y, z du point M, par rapport aux au-

cieni ftxes. Par te point H menons une parallèle MC à Taxe

OZ', et par le point G où elle perce le plan XfOT, une parallèle C'D' i Taxe OY^; les trois longueurs OD', ce, CM, prises avec les signes con- Tenable^; sont les coordonnées a/, \f^ %l du point 4f , par rapport aux ppuyeaux axes. En projetant les deux lignes brisées ODCM, Oiy CM, successivement sur chacun des trois axes OX, OY, OZ, on obtient les trois relations

y cosv -f- s cos jA = aûcf-h a't/ -h a"js^,

y -hz cos'k = 6a/ -h Vy'+Vz!^

X cosfA + y cos> + z ==ca/ -i'&y^+c'' %' ^

desquelles on peut déduire pour Xy y, z des expressions du premier degré en a/, y^ zf. Le déterminant de ces équations est le même que celui des équations du n"" 4^8.

n faut se rappeler que a, b, c ne sont pas arbitraires, n>ais liéei par une équation de condition; il en est de même de a^ ly, é et de a*, \Py c^ H y aurait entre ces mêmes quantités trois nouvelles relations, si l'on voulait qne les nouveaux axes fussent rectangulaires, on, plus généralement, qu'ils fissent deux à deux d^s angles donnés,

#1|fl— ^uand les axes primitifs sont rectangulaires, on a

Fig. S52.

XCOSv

cos>. = cosfA î^ cosv = cos - = G,

1«8 équations (2) se réduisent à

h'zK

Ix=^aocl+dyf y=6a/-4-6Y z=cx/ + cfy'+(fzf.

Alors les relations entre les co sinus sont

Si les nouveaux axes sont aussi rectangulaires (fig. 253), on a en outre les relations

Iaa' +hV -{-ccf =o, a" a -4-6"6+c"c =o.

Si Ton multiplie les deux membres des équations (3) par a^ 6, Cy puis par a', Vy (/, et a% 6", c'', et qu'on sgoute^ il vient, en ayant égard aux relations (4) et (5)^

Iocfz=ax -\-by +cz, yi =za' x-\-V y-^dz, z^ = a"x + Vy + c''Zy

On obtient ces formules directement en projetant les lignes brisées ODCM, OIVC'M sur les axes OX', OY', OZ^

Puisque les nouveaux axes sont rectangulaires^ les quantités {a, a' y a% (6, Vy V% (Cy &, c"), qui désignent les cosinus des angles des directions OX^ OY^ OZ avec les nouveaux axes^ doivent satisfaire aux relations

(7) { b' + V^-^b"' = i, (8) bc-hVcf + b"c'=Oy

c»-+-(/» + c"* = i, ( ca-i-d a^-hc"a''=o,

analogues aux relations (4) et (5).

JÊ%% — Des relations précédentes entre les neuf cosinus, on en déduit un grand nombre d'autres parmi lesquelles nous citerons les suivantes, qui sont particulièrement utiles. Les deux dernières des équations (5) déterminent les rapports des quantités a!\ b", c^; on en déduit

a" 6" c" . yja"'^b"^-{-c"^

bc'--cbf ca'—ad aV—ba' yi(bd—cb'f-h{ca'-'adY'^{ay—ba'f

Mais on a

{bd — cV? + {cd — adf -f- [aV — haf^ = (a'+6*+c«)(a'*-h6'*4-c'*) — (aa^-i-66^-f-c(/)«=i.

Il en résulte

M fl' fe' c' .

v9J i^d ^^/ — ç^i ^ç, — ab' — ba^'^'

On prendra l'un ou l'autre signe suivant la disposition du trièdre OX'Y'Z'.

Quand on fait coïncider OX' afee OX, OY' avec 0¥, OZ' prend la direction OZ ou la direction opposée. Pour cette position particulière, on a, dans le premier cas, o = 6' = c^=4, o'= 0"= 6 = 6"= c = c' = 0, et il faut prendre le signe +; àsùs le second cas, il faut prendre le signe — . Si le trièdre se déplace d'une manière continue, les angles, et par consé* quent lears cosinus, variant d'une manière continue, on doit conserver le même signe devant chacun des binômes, tant que ce binôme ne s*annule pas; les trois binômes ne pouvant devenir nuls à la fois, on en conclut qu« le même signe doit être conservé, quelle que soit la position du trièdre.

Si Ton forme le déterminant des équations (3) ou (6), on a, en vertu des relations (9),

aVc"— a&b'-h ca'¥— bal(f+ bdoT— cVa" = (b&-'cV)a"'+'(ca' — ad)b"-h(aV — ba')c'=±i.