FORMULES D^EULER

JlUS-^Les formules précédentes, pour passer d*un système rectangu* laire à un autre également rectangulaire, offrent Tavantage d'être symétriques par rapport aux angles ; mais, quoique les angles soient au nombre de neuf, il n*y en a réellement que trois qui soient arbitraires; c*est pourquoi il ne faut jamais perdre de vue les relations qui les lient. Cette dépendance des neuf cosinus est, dans certains cas, un obstacle pour constater Tidentité de deux expressions. On a donc cherché des formules dans lesquelles n'entrent que trois constantes; le choix de celles-ci était naturellement indiqué dans plusieurs questions de mécanique et d'astronomie, où Ton emploie de préférence les nouvelles formules.

On peut déterminer la position des nouveaux axes par Tangle ^ que fait avec OX la trace OA du plau X'OY' sur le plan XOY, Tinclinaison 6 du^

plan X'OY' sur le plan XOY, inclinaison mesurée par l'angle ZOZ', enfin l'angle 9 de Taxe OX' avec la trace OÂ (fig. 254).

Or, il est possible d'amener le premier système sur le second, par trois rotations successives. Faisons tourner d'abord les axes primitifs de l'angle ^ autour de OZ; tandis que ^U-S^- l'axe OZ reste immobile, les axes

OX et OY tournent dans leur plan de l'angle ^; Taxe OX vient donc occuper la position OÂ ou OX^, et OY une certaine position OY^. Remarquons que l'axe OZ', perpendiculaire sur le plan X'OY', et, par suite, sur la trace

lo) { y=

OA, esl conlenu dans le pbn T^OZ (>erpeBdiciilàire à 0Â< Aeiuelièoiettt, faisons tourner de Tangle 6 autour de OA; tandis que Tate 0X| ^estei imÉiobile, les deux axes OY^ et OZ tournent dans leur plan de Tangle 9 ; donc OZ vient occuper la position OZ', et 0Y| une certaine position OT, conprise dans le plan \'0\', En6n, faisons tourner de Tangle ç autour de OZ', puisque les deut axes OX^, OY» tournent dans leur plan de Tangle 9, il en résulte que OXj vient se placer sur OU', et OY^ sur OY'i Aprèi eei trois rotations suoeessives, les axes primitifs coTneîdent avec \ei nduveatix sxM.

On a» de cette manière, qaatre systèmes d*axes ^ eonsldérer» iivoir : OXYZ, OXJiZ, OX JiZ , OX'Y'Z'. Deux systèmes «ioodéettttft «ifatii un axe commun, on passera de Tua à Tautre par les formules dé irilisformation employées en Géométrie plane (n* 50). On a ainsif par des transformations successives,

: x^ cosi{; — y^ slii if y yj= y, cos6 — z'sinÔ, x^ == a/cosç — y' sin lar^sin^-hy^cos^, z =y,SÎnO + J5'cos6, y, = a/sin<p-f-y'cos

L^éliminatioû des quantités auxiliaires x^ y^, y, donne

^/(cosçcos^j/ — sin(psiii^cos6)-i-y'(— sin9cos<j; — cos<psin<pcogô)-|-z'sint|' ^^(cosçsi n<}^H-sin(pcos<|^cos6)H-y'(— sinçsin<jH-cos9COs4'COs6)-|--V( a/sinçsinô-^-y'coscpsinÔ+a^oosô.

Telles sont les formules connues sous le notn de formules d'EoLsa.

La comparaison de ces formules, avec les formules (3) dix ù^ i4 ( , conduit aux relations suivantes :

a = cosç cos^ — sin ç sin i/ cos6,

6 = cos(p sin if + sin<p cosvj; cosâ,

c =sin(psiD6;

a^= — sinçcos^j/ — cosçsiinj/cos6,

y = — sinç sin ^ + cosç cos A cosG,

c^ = cosçsin6;

a"==siiltpsiii6,

6"== — cos^sinô,

c''=cosO;