COS
sin
^ 2 8ina cos
a-t-M sin a / e
2 sm —
Ot “f— tü
2sinasin
si l’on remplace le produit 2sinacos2-j^ par la somme
. 3a — to . a-f-to
sm — h sm f
il vient
sm — stn
2sinasm — ^ —
• si l’on trasnforme ensuite le numérateur en un produit, on a Onalement
• fit — C*) . M gf
P sm cosa V sm
• • ût Ci> - (il — et
esmasin— ^ e»sinasia-^
Quand <•> varie de 0 a a, la différence î est négative ; ainsi la branche AE est comprise entre les parallèles OL et CD. Mais, quand ci> varie de > èc, la différence 6 est positive, et la branche E'A'est située en dehors des parallèles.
VI. Strophoïde oblique. — Dans la construction delà strophoi'de droite, telle que nous l’avons donnée au n« 31 , nous supposions les droites OX et OY rectangulaires; supposons maintenant que ces droites fassent entre elles un angle 8 (fig. 231); par le point fixe A placé sur l’une
d’elles, on mène une sécante quelconque AD, sur laquelle on prend k partir du point D des longueurs DM et DN égales k DO, et on cherche le lieu des points M et N.
Quand la sécante tourne dans l'angle obtus XOY jusqu’à devenir parallèle k OY, le point M décrit l'arc 0MB, terminé au point B sur la perpendiculaire OB k OY; le point N décrit la branche infinie ON. Si l’on prend une distance 00 égale k OA, et que par le point G on mène une parallèle H’il k OY, on a l'asymptote de la branche ON; car l'oblique NF égale k AM ayant pour limite AB, la distance du point N à la droite a pour limite zéro.
Faisons maintenant tourner la sécante dans l'angle aigu XOY'; la perpendiculaire élevée sur le milieu de OA coupe OY' en un point G, tel que l'on a C A = CO ; quand la sécante occupe la position AC, l'un des points vient en .4 et l’autre en E ; ainsi, la sécante tournant de la position AO k la position AC, on a l'arc OM'A tangent en A k la droite AC, et l'arc OE. La sécante continuant son mouvement, la droite OD' devient plus grande que AD' ou que D'F' et le point N' est situé au delk de l'asymptote ; on obtient la branche infinie EN' et l’arc AM* B qui se raccorde en B avec l'arc 0M6. Il est aisé de voir que les tangentes au point 0 sont les bissectrices des angles formés par les droites OX et OY’.
Si l'on prend le point 0 pour pôle, la droite OX pour axe polaire, que l'on appelle o la distance OA et 0 l’angle YOX, les angles DOM et DM0 étant égaux k 6 — <d, et l'angle OAD k 0 — ia>, le triangle OMA donne la relation
asin (9 — am) sin (Ô — w)
On retrouve facilement à l'aide de l’équation les propriétés que nous avons déduites de la définition géométrique de la courbe.
Quand on prend la droite OY pour axe polaire, l’équatiou de la courbe devient
asin (2(0 4-9) sinto
S71 — Exemple VII. Trouver le lieu des points de contact des tangentes menées d’un point donné P aux diverses courbes du second degré ayant pour foyers deux points donnés F et F’.
Prenons pour axes la droile F'F (fîg. 233) et la perpendiculaire élevée à celle droile en son milieu; l'équation générale des coniques ayant pour foyers les points F et F’ est
c désignant la distance OF et a un paramètre variable; lorsque a est
plus grand que c, la courbe est une ellipse, et lorsque a est plus petit que c, c’est une hyperbole. Soient a, p les coordonnées du point donné P ; l’équation de la corde des contacts des tangentes menées du point P è la conique (1) est
ax
On obtient l'équation du lieu en éliminant le paramètre a entre les équations (1) et
(2). Si l’on retranche ces équations membre à membre, il vient
X* — ax
d’où
— OCX — fiy
■ c*(y«— Py)
x*-hj/* — ax — Py’
en substituant dans l’équation (1), on obtient l'équation du lieu
(3) (x*-i-y*—ocx — p.y)(p.r — ay)-t-c’(a: — a) (y — P) = o.
Le lieu est du troisième degré, il passe par le point donné P, par les foyers F et F', et par les projections du point P sur les droites OX, OY.
Si l’on transporte les axes parallèlement à eux-mémes au point P, l’équation du lieu devient
(4) {x*-hy*-hoix-h^y)(^x — ay)4-c’ay = o.
Si l’on transforme celle-ci en coordonnées polaires en prenant pour pôle le point P et pour axe polaire la droite PX', on a
(c*-4-P* — «*) sin2(i) + 2aP cosato
'* ^ ^(asinto — Pcosto)
A l'aide des angles auxiliaires ? et s, déterminés par les formuleg
4 Pt 2
lang9 = E.
cette équation prend la forme
la lettre d désignant la quantité
Sil’on fait tourner l'axe polaire de l'angle 9, l'équation (6) devient identique i l'équation (2) de la strophoïde oblique (a» 370).
L'angle 9 étant égal li POA, l'asymptote est parallèle ii la droite OP. Parmi les courbes homofocales considérées se trouvent une hyperbole et une ellipse passant par le point P; on en conclut que le point P appartient au lieu et que les tangentes en ce point sont les bissectrices PQ, PQ' des angles formés par les droites PF et PF'. La strophoïde est définie par deux droites PE, PI et un point I sur l’une d'elles. Nous connaissons la droite PE; on obtiendra la droite PI en remarquant que la tangente PQ est bis.<ectrice de l'angle EPI; on obtiendra le point I à l'aide de l'un des points du lieu, par exemple du point A ; la droite IA doit être telle que l’on ait KA = KP; le point K est donc le point milieu de la diagonale OP.
La courbe précédente est aussi le lieu des pieds des normales menées du point P aux courbes du second degré qui ont pour foyers les points F et F' ; car, une ellipse et une hyperbole homofocales se coupant à angle droit, la tangente à l’une est normale à l'autre.
S79 — Exevpi.e VIII. Construire la courbe donnée par l’éqitalion
dsin (20)-i-9,) sin (01 — <p)
La valeur de p s'annule pour u
2to
0, et devient infinie pour u = - ;
menons par le pôle ^ droite L'L, qui fait avec l'axe polaire l’angle
dont la mesure est 5 (fig. 233).
- Lorsque to varie de 0 h g» p est né-
gatifet varie de 0 à — 00 , on a une branche infinie OA'B', tangente :t l’axe polaire et comprise dans l’an- •2-2
gle X'OL'. Quand u dépasse i et croît de | à » , p devient positif et décroît
de 00 à a, on obtient ainsi une première branche infinie AB, puis une seconde AE qui fait une infinité de circonvolutions autour du cercle décrit du pôle comme centre, avec a pour rayon, en se rapprochant constamment du cercle. Quand u varie de 0 à — œ , preste positif et va en croissant de 0 à a, ce qui donne la branche OE' intérieure au cercle ; celle branche fait une infinité de circonvolutions en se rapprochant constamment du cercle.
Considérons l’une des branches infinies A'B', AB; la distance MP d’un point de l’une de ces branches la droite L'L q pour expression
la limite de celte qiianilté, lorsque u tond vers -, est Les deux branches A'B', AB ont donc pour asymptote la droite CD, distante de L'L de
Si l'on pose <•> = ^4- u’, l’excès de la distance MP sur sa limite est
S =: [(t 2m') sinw' — w'].
La parenthèse s’annule pour 0; sa dérivée première s’annule aussi, mais sa dérivée seconde a une valeur positive ; si l’on fait croître o>’ è partir de zéro, on en conclut que la dérivée première commence par croître, et, par suite, est positive, et de même la parenthèse ; ainsi la différence S est positive pour des valeurs positives de to' suffisamment petites. On recoupait de la même manière que la différence S est négative pour des valeurs négatives très-petites de <a', ce qu’on voit d'ailleurs directement; ainsi les deux branches infinies sont situées par rapport à l’asymptote, comme l’indique la figure; il est évident, en outre, que celle asymptote est coupée par la courbe en nombre infini de points.
393 — Exemple IX. ConMruire la courba
V su
Ci) I
SIDW
Le rayon vecteur reprenant la même valeur quand w augmente de 2t:, il suffit de faire varier m de 0 à 2vr. Pour que le rayon veeteur soit réel, il aut que la fraction placée sous le radical soit positive. Le numérateur
change de signe pour les valeurs ^ attribuées à u>, le dénominateur
pour les valeurs 0 et n; en rangeant ces angles par ordre de grandeur
on voit que la quantité placée sous le radical est négative de 0 à -, positive de ^ à négative de ^ ii positive de n à on obtiendra donc
toute la courbe, en faisant varier u de g à et de it à îir. On remarque
■y d'ailleurs que les valeurs supplé-
[^1! mentaires de o> reproduisant les
I \ mêmes valeurs de p, la courbe est
,,-4-, symétrique par rapporté laperez >' pendiculaire OY à l’axe polaire OX
^ (fig-23i).
I ^ ' Du pôle comme centre, avec un
I / rayon égal à l'unité, décrivons
I un cercle ; ce cercle divisera em
ly''' deux parties égales chacune des
Fig. 334. cordes qui passent par le centre ;
quand w varie de - à -, la valeur du radical, que nous désignerons par p,,
en posant p = 1 ± p,, croit de 0 à 4, ce qui donne les deux arcs AB et AO, qui se raccordent au point A, tangentiellement li la droite OA; l’arc
AO est tangent au point O à la droite OY. En faisant varier w de ^ à
on obtiendra l’arc BA'O, symétrique de BAO par rapport à la droite OY.
Quand <o varie de n à —, p, décroît de w à V3 : ce qui donne les deux
branebes inGnies EF et CD; en faisant varier o> de à 2n, on obtiendra
les deux branches FE', DC', symétriques des précédentes ; ces brandies inGnies sont asymptotes ii l'axe polaire.
374 — Remarque. La distance Tariablc MK d’un point M d’une branche infinie (flg. 229) à la direction OL, pour laquelle p devient infini, a pour expression
± p sin (o) — a) ;
quand w s’approche de a, le premier facteur croît indéfiniment et le second tend vers zéro. Dans les exemples précédents, on a pu découvrir sans peine ce que devient ce produit pour des
valeurs de w voisines de a; lorsque la difficullé est plus grande, on a recours à la règle suivante.
Le produit peut s’écrire
sin (o — a) ^ P 0} — a ' 0} — a
Le premier rapport a pour limite l’unité; si Ton considère -
comme une fonction de w, le numérateur du second rapport est
l'accroissement de -* quand l’angle polaire passe de la valeur P
aà la valeur <i>; le dénominateur étant l’accroissement de l’angle, le rapport a pour limite la valeur de la dérivée de considérée
comme une fonctionde w, quand on y remplace w par a. Lorsque cette dérivée est nulle, la branche considérée n’a pas d’asymptote; si la dérivée a une valeur d différente de zéro, la branche a une asymptote, située à la distance i de la droite OL.
EXERCICES
1* Trouver le lieu du sommet d'une parabole variable qui a un foyer 6xe et qui touche une conique du même foyer (concbofde).
¥ Trouver le lieu du sommet d'un triangle variable, dont la base a est fixe, et dont les deux autres côtés ô et c et la médiane correspondante m vérifient la relation b — c = my^.
3* On donne un point fixe O et une droite fixe OP; on demande le lieu du sommet M d’un triangle variable MON qui remplit les conditions suivantes : le côté ON a une longueur constante a, le côté NM = a yfï, enfin les angles vérifient la relation cos (MON — 20MN) = cos MOP (lemniscate); démontrer que la tangente en un point quelconque M du lieu passe au centre du cercle circonscrit au triangle qui a donné ce point.
4* Le triangle AUC est inscrit dans un cercle donné, le sommet A reste fixe et l'angle A constant; on demande le lieu du centre du cercle inscrit dans le triangle ABC (limaçon).
5* Trouver le lieu du snitimct d'un angle constant dont les deux côtés sont tangents à deux circonTérenccs données (limaçon).
6" Trouver le lieu des foyers des paraboles qui ont une corde commune et une tangente commune, parallèle à cette cordc.
7* On donne un cercle fixe, un cercle variable louebc le premier en iiii
CüUKBES EN COORDONNÉES P01.A1RES. 341
poiul fixe ; on demande le lieu du point de contact sur ce dernier cercle de la tangente commune aux deux cercles.
8" Trouver le lieu du sommet ou du foyer d'une hyperbole équilalère, dont le centre est fixe et qui passe en un point fixe.
9® Trouver le lieu du centre d’une hyperbole équilatère donnée, assujettie à passer par deux points fixes.
10* On donne un angle droit YOX, et un point fixe P sur la b'issectrice de cet angle; on demande le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée du point P sur une sécante variable qui intercepte dans l'angle un triangle dont l’aire est constante.
lO En un point quelconque M d’une parabole on mène la normale que l’on prolonge jusqu’au point N oh elle rencontre l’axe ; on demande le lieu du point de rencontre de la tangente en M à la courbe avec la perpendiculaire à l’axe au point N.
1 2® On remplace la parabole du problème précédent par une hyperbole ; on prend le point N sur l’un des deux axes de la courbe; trouver le lieu.
43® üne parabole tourne autour de son foyer; on demande le lieu des points de contact des tangentes menées parallèlement è une droite donnée.
4 4® Trouver le lieu du point milieu d’une corde normale à une hyperbole donnée.
45® Étant donnée une ellipse, le centre d’un cercle de rayon constant parcourt un diamètre de l’ellipse; trouver le lieu des points de concours des sécantes communes au cercle et à l’ellipse.
46® Étant donnée une hyperbole équilatère, le centre d’un cercle, qui passe constamment par le centre de l’hyperbole, décrit une asymptote; trouver le lieu des points de concours des sécantes communes.
47° Lieu des points de contact des tangentes menées d'un point donné aux cercles qui touchent une droite donnée en un point donné.
18® Lieu des points de contact des tangentes menées d'un point donné aux cercles qui passent par un point donné et qui touchent une droite donnée.
4 9° Trouver le lieu des milieux des cordes inscrites dans une hyperbole donnée et tangentes h un cercle concentrique h l’hyperbole.
20° Construire les lieux représentés par les équations
— x‘-|- aax’y = o, — vi.aif — 2bx^jj = o,
fx* -h y®)’ — 6 axy* — a ax® -f- a a’x® = o, y = a ■+■ b {x — c)*,
y® — X® — a6xy®-i-2Cix® = o, y' — x‘— 2x*y®-l- ax = o, y — X® — ç)6a’y*-t- ioort*x° = o, ax® — y®+(y — .r)*=o.
21* Construire les courbes représentées par les équations
2Stnÿ — sma: = o, sina5sinÿ = -*
sin®*
2î" Construire les courbes représentées par les équations
sinw , . /sin3(o
^ 2 COSW — I V cos (ù
p’cosw — 2psin<«)-i-cos’w = o, p*coso) — 4p8inti>-Htangw=o,
P = costi)
sinto
