CHAPITRE IV
ConstracUoii dea eourbea en eoordonnéea polairea.
Nous avons défini les coordonnées polaires au n“ 3 ; dans ce système un point quelconque, pris isolément dans le plan, peut être déterminé par une valeur de (o comprise entre O et 2 TT, et par une valeur positive de p; cependant, on est conduit à faire varier chacune des coordonnées to et p de — cc à H-oo .
Nous avons vu (n® 263) que, l’un des foyers de l’hyperbole étant pris pour pôle, les deux branches sont représentées par deux équations distinctes, quand on se borne aux rayons vecteurs positifs; mais que l’une des équations suffit, si l’on admet les rayons vecteurs négatifs, en convenant de porter la valeur absolue de chacun d’eux dans la direction opposée à celle qu’indique la valeur de w. Nous avons vu aussi que cette convention permet de représenter le limaçon de Pascal par une seule équation (n® 35).
Spirale d’Archimède. Un point M se meut d’un mouvement uniforme et dans le sens G'G sur une droite indéfinie G'OG, qui tourne elle-même d’un mouvement uniforme autour de
l’un de ses points O, la courbe décrite par le point M est la spirale d’Archimède (ûg. 21^).
Prenons pour axe polaire la position OX, occupée par la droite OG lorsque le mobile M passe en O, et comptons les angles polaires positivement dans le sens du mouvement de la droite; soit a la longueur dont le mobile s’avance sur la droite, pendant que celle-ci fait une révolution entière. Si l’on considère le mobile dans l’une quelconque de ses positions après son passage en O, en appelant w l’angle dont a tourné la direction OX pour venir sur OG, et p la distance du mobile au
point O, on a, en posant -^ = b,
a 2TC
ou p=o — = ow.
2TÎ
Considérons le mobile avant son passage en O; appelons (<), la valeur absolue de l’angle dont il faut faire tourner la direction OX pour l’amener sur OG; le point M étant placé sur la direction opposée OG', le rayon vecteur doit être considéré
comme négatif, et l’on a — ^ = — • Si l’on convient de re-
garder comme négatifs les angles polaires comptés dans un sens opposé au premier, on aura w= — <o„ et la relation précédente coïncide avec l’équation (i) qui représente alors la
courbe indéfinie. Les valeurs
277 et 4lï> •••} O et — 277, ...
i de <0 comprises entre o et 277, , donnent les spires successives.
; Si l’on se bornait aux valeurs positives de p et aux valeurs de (ù comprises entre o et 277, il faudrait une équation par- T ticulière pour représenter chacune des spires, p = 6(i), p = a-4-6w,. .
Ÿ — a — bo), p = 2U — bb>,.—
Fig. S17. La spirale d’Archimède se
compose de deux parties OB,C,D,A,B,. . . et OB,EiD,F,B,. •• symétriques l’une de l’autre par rapport à la perpendiculaire
CüUKBES EN COORDONNÉES POLAIRES. 345
3Y à l’axe polaire. Chaque partie comprend une infinité de >pires, et les portions d’une droite quelconque menée par le pôle et comprises entre deux spires consécutives ont toutes pour longueur a.
358 — Reharqce I. Un même point M du plan peut être M déflni par une infinité de couples de valeurs de P et de u. Si l’on appelle a l’angle positif O i moindre que que fait la direction OM
Fig. 918. avec l’axe OX et a la distance OM (flg. 218), on peut prendre pour coordonnées du point M les couples de valeurs,
...(— 4ir-ha,a),(— 2x-|-a,a), (x,a), (2ir-f-a,a), (4x+a,a),... dans lesquelles le rayon vecteur est positif, ou les couples
...(— 3-T-l-a, — a), (— TT-t-a, — a), (-4-a, — a),
(3tc -f- a, — a), (5x + a, — a)...
dans lesquelles le rayon vecteur est négatif. Lorsque le point M appartient à une courbe définie par une équation /'(w, p) = 0, ses coordonnées ne peuvent être indiquées à la seule inspection du point; il faut, pour les obtenir, suivre le tracé de la courbe.
359 — Rem.4Rqi'e 11. Dans les formules de transformation établies au livre I, chapitre iv, nous avons supposé le point M déterminé par un rayon vecteur positif et par un angle polaire compris entre o et 2ir. Conservant d’abord le rayon vecteur positif, on peut prendre pour angle polaire l’un quelconque des angles que forme la direction OM avec l’axe OX (flg. 219),
en convenant d’affecter l'angle du signe ■+■ ou du signe — , suivant qu’une droite partant de la direction OX pour arriver à la direction OM, tourne de OX vers OY, ou dans le sens opposé. Ceci revient à augmenter ou à diminuer
Fia- 219. l’angle désigné primitivement par w
d’un multiple de 2t:; le sinus et le cosinus ne changeant pas.
les formules restent les mêmes. Supposons maintenant le
point M défini par un rayon vecteur négatif; l’angle w sera
l'un des angles formés par la direction OM' avec OX. La projection de OM sur OX est ( — p) x cos (tc -f- w) ou p cosu ; ainsi on a encore x — pcosu, et de même y = psin(d. Donc les formules sont générales.
Lorsque Taxe polaire OX' ne coïncide pas avec OX, on définit la litisilinn de cet axe par l’angle a qu’il fait avec OX. Si, dans les formules x = p cosw, y ■— p sinw, qui se rapportent à l’axe polaire OX, on remplace w par oZ + a, il vient x = pcos(w'-+-a), y = p sin(c<>' + a). Supposons les axes des coordonnées obliques, et prenons OX pour axe polaire (lig. 220), on obtient les formules de transformation en projetant les deux chemins OM et OPM successivement sur une perpendiculaire à OX et sur Fig.sjo. une perpendiculaire à OY, ce qui donne
psin(6 — w) psincd
smô ^ sinô
360— Remarque 111. Dans le cas où l’on obtient toute la courbe en faisant varier <» de o à 2tt, on reconnaît la symétrie par rapport à l’axe polaire OX, quand les valeurs a et 27? — a attribuées à u reproduisent la même valeur de p, ou quand les valeurs a et tc — a donnent des valeurs de p égales et de signes Contraires. On reconnaît de même la symétrie par rapport à la perpendiculaire OY, quand les angles a et t: — a donnent la même valeur de p, ou les angles a et 2x — a des valeurs égales et de signes contraires. Enfin, on reconnaît la symétrie par rapport au pôle, quand les angles a et ir -4- a donnent la même valeur de p.
Mais lorsque, pour avoir toute la courbe, il est nécessaire de faire varier w au delà de 2r, la symétrie peut se présenter d’une autre manière. Par exemple, s’il est nécessaire de faire varier w de o à 4"!^^ la symétrie par rapport à l’axe polaire aura lieu si les angles a et 27: — a, ou a et 4’’^ — donnent des valeurs égales pour p, ou si les angles a et tc — a, ou a et Stt — a, donnent des valeurs de p égales et de signes contraires. Si les limites de <0 sont plus étendues, le nombre des comparaisons à faire augmente.
Considérons, par exemple, la courbe déboie par l’équation p = cos
Quand co augmente de deux fois in, la direction du rayon redevient la
même ; d’ailleurs, ^ augmentant de in, p reprend la même valeur et l'on
retrouve un point déjà obtenu antérieurement ; il suffit donc de faire varier &> de 0 à 4n. Si l’on augmente u de in, le rayon revient à la même 0)
direction ; mais ^ augmentant seulement de p conserve la même valeur
numérique en changeant de signe; on en conclut que la portion du lieu donnée par les valeurs de w comprises entre 2 n et 4 n est symétrique par rapport au pôle de la partie donnée par les valeurs de<u comprises entre 0 et in-, en d’autres termes, le pôle est centre de la courbe. Pour u = a et U) = in — a, les valeurs de p sont égales et de signes contraires; on a, de la sorte, deux points placés symétriquement par rapport à la perpendicu* laire OY à l’axe polaire (Rg. 221) ; cette droite OY est un axe de la courbe.
La variable u> allant de 0 à n, p diminue de 4 à 0, et l’on a l’arc ABO tangent au point O à la droite OX'. Les valeurs de (O comprises entre n et 2i: donnent l’arc OBA' symétrique du premier par rapport à OY, et les valeurs de o> comprises entre 2it et 4ic la courbe A'B'OB'A symétrique de ABOB.A' par rapport au pôle. La courbe est formée de quatre arcs égaux. L’axe polaire est aussi un axe de la courbe, ce qu’on voit directement en remarquant que l’on a des valeurs égales de p pour les valeurs a et in — a attribuées à u.
TANGENTE
36V— On détermine la direction MT de la tangente au point M par l’angle a qu’elle fait avec le prolongement MA du rayon vecteur.
Soient p et w les coordonnées du pointM, p -f- Ap et w -i- Aw celles d’un point voisin M' (fig. 222); menons la sécante MM', et du pôle comme centre, avec OM pour rayon, décrivons l’arc de cercle MN; l’aiTgle MOM' est l’accroissement Awde l’angle polaire, M'N est l’accroissement Ap du rayon vecteur. Le triangle
NMM' donne
sinOM'M cordeMN corde MN^^arcMN cordeMN^^pAw sinNMM' “ M'N “ arcMiN ^ M'N arcMN ^ Ap'
Si l’on fait tourner la sécante
autour du point M, de manière que le point ftP se rapproche indéfiniment du point M, la sécante MM' a pour limite la tangente MT, la corde MN a pour limite la tangente à l’arc de cercle, et, par suite, la perpendiculaire au rayon OÂ; on a donc
limOM'M = OMT' = a,
limNMM' = --a;
on sait, d’ailleurs, que la limite du rapport d’un arc de cercle à sa corde est l’unité ; l’équation précédente devient ainsi
sina co s a
ou
p' désignant la dérivée de p considéré comme fonction de co.
On a supposé dans la figure précédente que te rayon vecteur croît avec l’angle w; s’il décroît, le triangle NMM' (fig. 228) donne
sinOH'M corde MN ^ ^ arcMN cordeMN^^pAw
— sinNMM'~ arcMN arcMN
les angles OM'M, NMM' ayant pour
limites a et a--; on retrouve en-
core la même formule.
Quand (o croit, on s’avance sur la courbe dans un certain sens ; a désigne l’angle que fait la tangente menée dans le sens du mouvement avec la direction déterminée par l’angle u. On voit aussi que la même formule convient au cas où le rayon vecteur est négatif.
303— Remarque. Lorsque le rayon vecteur s'annule pour une valeur particulière de w, on a une branche de courbe OC passant au pôle, et la tangente à cette branche au pôle est précisément la droite OA donnée par l’angle to„. En effet, si l’on Y" prend un point voisin M, et si l’on fait tourner la sécante 0.M de manière que Fig. 824. le point M se rapproche du point 0,
s s’annule et la sécante tend vers la direction OA.
36S — Exemple I. Spirale d'Archimède. — L’équation de cette courbe étant p = b(ù (n« 357), on en déduit p' = b, d’oü
, P blù
tanga = ^ = -^ = to.
Si le point M part du pôle et s’avance sur la courbe, l’angle ai, d’abord nul, augmente constamment et tend vers un angle droit.
364 — Exemple II. Spirale logarithmique.— Oa appelle spirale logarithmique la courbe dont l’équation polaire est p = ae”^, a désignant une ligne donnée et m un nombre. Supposons la constante m positive ; si l’on
fait croître m de 0 à l'infini, p va constamment en croissant de a à l'infini, ce qui donne une branche indéfinie ABC..., faisant une infinité de circonvolutions autour du pôle. Si l’on fait ensuite varier <o de 0 à — eo , p diminue constamment et tend vers zéro, on obtient une seconde branche indéfinie ÂB'C'... qui fait une Fig. 325. infinité de circonvolutions autour du
pôle, en se rapprochant constamment de ce point. Si la constante m était négative, les valeurs positives de u donneraient la branche qui se rapproche du pôle, et les valeurs négatives celle qui s’en éloigne. On a ici
p’ = moe”*" = mp, d’où tanga = ^. On en conclut que la tangente à la
courbe fait un angle constant avec le rayon vecteur.
365 — Exemple 111. Epicyclo'ide. — Lorsqu’un cercle mobile roule, sans glisser, sur un cercle fixe, un point du cercle mobile décrit dans le plan une courbe ù laquelle on a donné le nom d’épicycloïde.
Bornons-nous au cas où les deux cercles sont égaux. Soit G le cercle fixe, G' la position initiale du cercle mobile, a le rayon; supposons que ce soit le
point de coniacl A qui, dans le mouTefflent du cercle C', engendre l'épicv-
cloïde (fig. 226). Lorsque le cercle mobile est venu dans la position C" , le point A est en M, les deux arcs EA , EM étant égaux.
Prenons le point A pour
p<Me, le prolongement de
^ CA pour axe polaire; la droite AM, perpendiculaire à la tangente commune AN aux deux cercles, est parallèle à CE ; Fig. S36. l’angle AEN est la moitié
de ACE, et, par conséquent, la moitié de u ; le triangle rectangle ANE donne
AN = AEsin^; mais AE = 2asin^; on a donc Z Z
P = 4o sin* ^ = 20 (i — cosw).
Cette courbe est un cas particulier du limaçon de Pascal (n° 35). On a ici
p'=2asina>, d’où tanga tang^r et, par suite, « = H est aisé de
voir que la normale è l'épicycloîde en un point quelconque M passe au point de contact E du cercle mobile avec le cercle fixe; car l’angle MEN étant
égal à et par suite i a, la droite EM est perpendiculaire à MT.
S66 — Exempus IV. Construction de la courbe p = 4-l-cos6u.
Il suffit de faire varier <<> de 0 à 2n. Le rayon vecteur p reste toujours compris entre 3 et 3; décrivons donc du pôl e comme centre deux cercles avec les rayons 3 et 5, la courbe sera tout entière située entre les deux circonférences (fig. 227).
Quand a varie de 0 è -t p diminue
de 5 è 3, ce qui donne l’arc AB.
Quand oj varie de g à p augmente de 3 è 5, ce qui donne Parc BA' symétrique du premier par rapport è la ligne OB. L’angle fiw a varié de la sorte de 0 à 2n. Si l’on fait
varier <o de ^ à l’angle 5m variera de 2n îi 4it, et les mêmes valeurs
de P se reproduiront dans le même ordre ; on obtiendra donc un second arc Â'B'” égal au premier, puis un troisième, et ainsi de suite. Après le cinquième arc, on reviendra au point de départ.
En prenant la dérivée, on trouve tanga = — — » Auxpoints A et B,
on a sin5td = 0, et, par suite, a = -•
S67 — Exsiplr V. Les extrémités d’une droite de longueur constante glissent sur deux droites rectangulaires OX, OY; d'un point fixe I, situé sur la bissectrice, on abaisse une perpendiculaire sur la droite mobile ; trouver le lieu du pied de cette perpendiculaire (6g. 228).
Fig. 228.
11 est évident que le lieu sera symétrique par rapport à la bissectrice 01. Plaçons d’abord la droite mobile dans la position PQ perpendiculaire à la bissectrice, on a le point A du lieu. Faisons glisser la droite de manière que l'extrémité Q descende sur l'axe des y; dans une certaine position P'Q', la droite passera par le point I qui, de la sorte, appartient au lieu; on a ainsi l’arc AEl, dont la tangente en lest per-
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33i LIVRE IV, CHAPITRE IV.
pendlSsulaire k P'Q'. L’extrémilé Q' continuant à descendre, la droite vient s’appliquer sur OX, et l'on a l’arc IFC qui passe au point C, pied de la perpendiculaire abaissée du point I sur OX. L’extrémité Q glisse sur OY', et la courbe passe au-dessous de OX ; la droite arrive dans une position r'C" telle que l'angle IP"Q" est droit, ce qui donne le point P” du lieu; on a ainsi l’arc CCP". Si l’extrémité Q" continue k descendre, la courbe revient au-dessus de OX; bientôt, dans la position P’"Q’", la droite prolongée passe en I ; on a ainsi l’arc P"I dont la tangente en I est perpendiculaire k P"'Q"'. L’extrémité P'" continuant k se rapprocher du point O, la droite s’applique sur OY' et l’on obtient l’arc IHD, qui passe par le point D, pied de la perpendiculaire abaissée du point I sur OY. L’extrémité P'" glisse sur OX', et la droite arrive dans un position P"Q" telle que l'angle IP"Q'’ est droit; le point P" appartient au lieu, et l’on a l’arc DP'". Ensuite la droite, dans la position Q'P', devient perpendiculaire k la bissectrice OR, ce qui donne l’arc P" B. Si, revenant k la position primitive PQ, on fait mouvoir la droite en sens inverse jusqu’k la position finale P'Q', il est clair qu’on obtiendra une courbe symétrique de la précédente par rapport k la droite AB.
Prenons pour pôle le point I et pour axe polaire la bissectrice BA ; appelons c la distance 01 et 2a la longueur de la droite mobile PQ; la droite qui joint le point 0 au milieu de l’hypoténuse PQ du triangle rectangle POQ est égale à a; l’angle que cette droite fait avec la perpendiculaire h abaissée du point 0 sur l’hypoténuse est égal k Su; on a d'ailleurs A = ccosi>>-;-p; on en déduit l’équation de la courbe p = acosSu — ccosu.
ASYMPTOTES
308— Considérons une branche infinie, asymptote à la droite CD (fig. 229); si l’on joint le pôle à un point M de la courbe, et si l’on suppose que le point M s’éloigne indéfiniment sur la courbe, la direction OM aura pour limite la direction OL de l’asymptote. Ainsi, lorsque le rayon vecteur p devient infini pour une valeur particulière a de w, si la branche infinie ainsi obtenue a une asymptote, Fig- cette asymptote est parallèle à la di-
rection déterminée par l’angle a qui rend p infini.
Pour avoir la distance OC de l’asymptote à la droite OL, du
point M de la courbe abaissons une perpendiculaire MK sur^^tle droite; le triangle rectangle MOK donne
MK = OM sin KOM = p sin (a — w).
Si le produit psin(a — w) ne tend vers aucune limite^ la branche infinie n’a pas d'asymptote. Si, au contraire, ce produit tend vers une limite finie d, la branche de courbe admet pour asymptote la droite CD, située à la distance d du rayon OL; car la distance MK ayant pour limite d, la distance MH aura pour limite zéro.
Lorsqu’on obtient la branche infinie en faisant croître u vers a, il est évident que, si cette branche a une asymptote, l’asymptote sera placée par rapport à OL, comme l’indique la figure. Si l’on obtenait la branche infinie en faisant diminuer 0) vers a, l’asymptote serait placée de l’autre côté de OL et sa distance à OL serait la limite du produit p sin (w — a).
Nous avons supposé la branche de courbe donnée par un rayon vecteur positif; si elle était donnée par un rayon vecteur négatif, on aurait, dans le premier cas, MK = — p sin (a — w), dans le second cas, MK = — p sin (w — a).
369 — Exemple V. Hyperbole. — L'équation polaire de cette courbe est
• ecosw
• dans laquelle e est plus grand que 1. Soit a l’angle dont le cosinus est — j ; quand
lo crottde 0 b a, p croit de — ii » , 1 -+-e
et l’on a la branche inflnieAE; co variant de oc à n, pdevient négatif et varie de — »
à ce qui donne la branche in-
finie E'A'. Les valeurs de u>, comprise.s entre n et 2n, donnent denx branches symétriques des précédentes par rapport à l’axe polaire.
La distance MK d'un point de l'une des branches AE, A'E' à la droite OL est
HJK
H-P(‘OS(o
p sin (g — (o) p sin (« — m)
/i , \ e(cosw — cosa)’
c(--f-coswl ' '
traosformant en un produit la différence cosoi— cosa, remplaçant sin (a—«i)
par 2sin— ^cos— et supprimant le facteur commun sin on a ^
iù
