REPRÉSENTATION DES LIGNES
404— -Une ligne dans l’espace peut être regardée comme
Digilizôd uy Ctxjgk
rintersection de deux surfaces; on représentera donc cette ligne par un système de deux équations simultanées
Le système (i) peut être remplacé par une infinité d'autres équivalents, par exemple par le suivant,
f=o, f—kf, = o,
dans lequel k désigne une constante quelconque, c’est-à-dire que la surface f — kfi = o, passe, quelle que soit k, par la ligne d’intersection des deux premières. Si, entre les deux équations (i), on élimine successivement y et x, on aura deux équations
qui représentent les deux cylindres projetants de la ligne sur le plan des xz, et sur celui des yz. Ces deux cylindres, par leur intersection, déterminent la ligne.
La représentation des figures dans l’espace par des symboles algébriques permet d’étendre aux figures à trois dimensions les méthodes analytiques employées dans l’étude des figures planes.
DIRECTION d’une DROITE.
405— Pour déterminer dans l’espace une direction 01 (fig. 25o), que l’on peut supposer appartenir à une droite passant à
l'origine, on donne les angles a, P, Y de cette direction avec les trois direclions OX, OY, OZ des coordonnées positives. Deux de ces angles ne suffisent pas; car si l’on décrit autour de OX et de OY deux demi-cônes dont les angles au sommet soient respectivement a et P, ces deux cônes se coupent suivant deux génératrices placées symétriquement par rapport au plan XOY ; la connaissance de y est donc indispensable. Il est évident, d’ailleurs, que ces trois angles ne sont pas tous arbitraires, et que,
Fig. S50.
lorsque deux d’entre eux sont connus, le troisième ne peut avoir au plus que deux valeurs distinctes. Au lieu des angles, on peut prendre leurs cosinus, puisque de o à w il n’y a qu’un seul angle ayant un cosinus donné. Les sinus, au contraire, laisseraient de l’ambiguïté.
400 — Considérons d’abord le cas où les coordonnées sont rectangulaires. Désignons par x, y, z les coordonnées d’un point quelconque M de la droite 01, et appelons l la distance OM. Les coordonnées du point M sont les arêtes OD, OE, OF du parallélipipède rectangle dont OM est la diagonale, affectées de signes convenables; ce sont aussi les projections orthogonales de la diagonale OM sur les axes; on a donc
x = lcosa, ÿ = lcosp, Z = lCOS'f.
Mais on sait que le carré de la diagonale d’un parallélipipède rectangle est égal à la somme des carrés des trois arêtes, ce qui donne remplaçant x, y, z par leurs valeurs,
et supprimant le facteur P, on obtient la relation
(i) cos’a + cos*P-1-cos’y =
qui existe entre les cosinus des angles formés par une même direction avec les axes rectangulaires.
40Î'— Appelons a/, , Y les angles que fait une seconde direction OF avec les mêmes axes, et cherchons l’angle V des deux directions 01, 01'. Les projections de la droite OM et de la ligne brisée ODCM sur la droite 01' étant égales, on a
IcosV = a:cosa'-f-ycos^-t-zcosy', ou, en remplaçant x, y, z par leurs valeurs,
(2) cosV = cosacosa'-t-cospcosp'-l-cosycosy',
Les directions 01, 01' sont perpendiculaires entre elles, lorsque la condition suivante est vérifiée
(11) cosa co8a'-+- cosp cos^'-l- cosYCOsy' = o.
408 — Supposons maintenant les coordonnées obliques, et désignons pour X, n, V les trois angles YOZ, ZOX, XOY, que font les axes deux à deux. En projetant orthogonalemeni sur clutcun des trois axes la droite OM
et ia ligne brisée ODCM, on a
lcosct = x 4-ÿcosv +acos(x,
(4) /cos^ = o;cosv -i-y -l-acos\
I cosy = a: cos fi -t- y cos>. -1- z ;
en projetant ces mêmes lignes sur 1a droite 01, on a
(5) / = ®cosa4-ycosP-l-acosy.
Si, des équations (i), on tire les valeurs de æ, y, z,
^ cosa ( 1 — C08*>.) -4-C08P(C08>.C0S(X — COSv) -t-cosy (COS'X.COSv — C08[a) ^
I — COS’X — COS‘(i — C0S*v-|-2C08Xc08(aC0Sv ’
et qu’on les substitue dans l’équation (5), on obtient la relation
cos*asin*>. -f- cos*psinV -H co8*ysin*v ■+■ 2cosacos^(cos^cos(t — cosv)
-H 2 cos P COS y (cos (i cosv — cos>.) -f- 2Cosycosa (cosvcosX — COSp)
= I — COS’X — cos’ (1 — cos* V -4- 2 COSX cos [A cos V,
entre les trois angles formés par une direcüon quelconque avec les axes obliques.
Si, dans l’équation (5), on remplace cosa, cos^, cosv par leurs valeurs tirées des équations (i), on a la formule
(8) P= ®*-j- y*-4- z’-f- 2jfz cos>. -H 2 zo; COS p. + 2 cosv,
qui donne la distance OU.
En projetant sur la droite 01' la droite OM et la ligne brisée ODCM, on a, comme précédemment,
f COS V = » cosa' -H y COS P' + Z cos^; en remplaçant x, y, z par leurs valeurs (6), on obtient la formule cosacosa'»in*X-f.eo»f (■nV|'5'sin*(i-j-rosvrosv'5in*v-|-(cosaro!ip^-f- ro«pcosa')(coArosii. — eosv) .
t — cos*X — cos*n — co8*v-|-2 co»Xcos(icosv
qui donne l'angle des deux dmections 01 et 01'.
Le dénominateur commun ou le déterminant des formules (6) peut être mis sous une forme remarquable qu'il est bon de connaître ; on a
I — COS’X — cos* IL — COS* V + 2C08\ cos P COSV = (l — COS*>.) (l — cos’p) — COS*>. COS’p — C0S*V-t-2C0S>.C0SpC08V
=i8in*>.sin*p — (cos'Xcosp — cosv)*
= (sin>. sin p — cos>. cosp-f-cosv)(sin>. sin p-pcosX cosp — cosv) = [cosv — cos (1 + p)] [cos (X — p) — cosv]
= 4 sin sin ' sin sm
nn.
