DROITE DONNÉE

4143 — Soient x', y', z' les coordonnées du point donné M, x = az -4-p, y = bz-\-q les équations de la droite. Le plan cherché, passant par le point M, a une équation de la forme

Ce plan sera perpendiculaire à la droite, si les relations

sont vérifiées. En remplaçant les rapports q et par leurs

valeurs a et b, l’équation du plan cherché devient

On obtient encore immédiatement cette équation, en remarquant que les quantités a, b, i sont proportionnelles aux cosinus des angles que fait la droite donnée avec les axes, tandis que les quantités a: — a^, y — 1/, z — z' sont proportionnelles aux cosinus des angles que fait avec ces mêmes axes la droite qui va du point M à un point quelconque du plan; ces deux directions étant rectangulaires, la somme des produit? de ces quantités deux à deux doit être égale à zéro.

444— On aura le point P ou le plan coupe la droite, en joignant l’équation du plan aux deux équations de la droite;

celles-ci étant mises sous la forme

X— —a[z— z‘) — {ûc' — az' — p), y — y'^b{z-z') — (i/-bz' — q),

on en déduit, en remplaçant x — x' et y — 1/ dans l’équation du plan

, ,/ djx^ — az' — p) + 6 {y' — bz' — g)

A l’aide de ces formules, ou calculerait aisément la distance MP du point a la droite donnée; mais nous l’obtiendrons plus rapidement par une antre méthode.

PAR LN POINT DONNÉ MENER UNE DROITE PERPENDICULAIRE A UNE DROITE DONNÉE.

^■*5 — Soient x', y', z' les coordonnées du point donné M, x = az-hp, y=bz-{-q les équations de la droite donnée. La

droite cherchée est l’intersection de deux plans, l’un mené par le point et la droite donnés, l’autre mené par le point donné perpendiculairement à la droite donnée. Le premier a pour équation (n“ 434)

X — az — P y — bz — q

x'— az' — P ~~ ÿ — bz' — q’

le second (n® 443)

a(x — x') + b{y — y')-h{z — z') = o-, ces deux équations simultanées représentent la droite cherchée.

DISTANCE d’un POINT A UNE DROITE DONNÉE.

440— Appelons toujours x', i/, z' les coordonnés du point donné M. Supposons d’abord que la droite donnée OL passe par l’origine, et désignons par a, fi, y les angles qu’elle fait avec les axes des coordonnées rectangulaires. La perpendiculaire MP, abaissée du point M sur la droite OL, étant un côté d’un triangle rectangle OMP (fig. 261), on a