CHAPITRE V

De la almllltBde,

40T — Les déflnitions de Yhomothilie et de la similitude pour les figures à trois dimensions sont les mêmes que pour les figures à deux dimensions (liv. IV, chap. v). En Géométrie plane, si l’on fait abstraction de la position des systèmes, l’homothétie inverse ne donne pas d’autres figures que l’homotbétie directe ; il n’en est plus de même pour les figures dans l’espace. Considérons un premier système de points A, B, C,..., et après avoir choisi arbitrairement un centre de similitude, construisons un système A', £', . . . homothétique direct et

un système A", B", C",... homothétique inverse avec le même rapport de similitude k; ces deux systèmes sont symétriques l’un de l'autre par rapport au point O. On les rend symétriques l’un de l’autre par rapport à un plan quelconque, mené par le centre de similitude, en faisant tourner l’un d’eux de i8o* autour d’une perpendiculaire menée par le point O à ce plan. 11 résulte de là que les systèmes homothétiques inverses du système donné sont les symétriques des systèmes homothétiques directs.

468 — On sait (n* 377) qu’une droite a pour homothétique une droite parallèle. Considérons un plan P et, dans ce plan, une série de droites passant par un même point M; chacune d’elles aura pour homothétique une droite parallèle passant par le point M' homothétique de M. On en conclut que la figure homothétique d’un plan est un plan parallèle.

Si le plan P passe au centre de similitude, il est à lui-même son homothétique.

Puisque deux plans ont pour homothétiques deux plans parallèles, l’angle de deux plans est égal à l’angle des plans homothétiques.

Les sécantes, qui joignent deux points homologues de deux courbes homothétiques quelconques, étant constamment pa-

DE LA SIMILITUDE. 417

rallèles, on en conclut que les tangentes aux points homologues sont parallèles.

Si l’on trace sur deux surfaces homothétiques deux séries de lignes homologues qui passent toutes par deux points homologues M et M', les courbes homologues auront en M et M' des tangentes parallèles; donc, les plans tangents en deux points homologues de deux surfaces homothétiques sont parallèles.

4®® — Si, par deux points fixes, on mène des rayons parallèles, et, dans un rapport constant k, on forme deux systèmes homothétiques ; la démonstration est la môme que celle du n° 378. Il en résulte également que deux systèmes homothétiques à un troisième sont homothétiques entre eux; quand l’homothétie est de même sens et que les deux systèmes sont construits avec le même rapport de similitude, on peut les superposer. Ainsi, avec un seul centre de similitude, en faisant varier le rapport k de o à 00 , on obtient tous les systèmes homothétiques à un système donné. En particulier, si le système donné est compris dans un plan, les centres de similitude extérieurs au plan ne donnent pas d’autres systèmes que les centres compris dans le plan.

470 — Les six centres de similitude de quatre systèmes homothétiques deux à deux sont situés dans un même plan. Soient A, A', A", A'" les quatre systèmes donnés; par les trois centres de similitude CL, O", O"' des systèmes A et A', A et A", A et A'^' faisons passer un plan P; ce plan, passant par le point O", est à lui-même son homologue dans les systèmes A et A'; il est aussi son homologue dans les systèmes A et A"; par conséquent, le plan P est à lui-même son homologue dans les systèmes A' et A"; donc, il passe par leur centre de similitude. Le même raisonnement s’applique aux combinaisons A' et A'", A" et A'".

Lorsque deux figures à centre sont homothétiques directes, elles sont aussi homothétiques inverses; et réciproquement. I>a démonstration est la même que celle du n® 38o. 11 résulte de là que si les quatre systèmes considérés dans le théorème précédent ont des centres, on aura six points dans un même plan, BR. ,'27

m LIVRE V, CHAPITRE V.

en prenant^ soit les six centres de similitude directe, soit, d’une manière convenable, trois centres de similitude directe et trois centres de similitude inverse.

4f'l— Le rapport des aires de deux polygones homothétiques étant égal à A*, on voit que le rapport des aires de deux polyèdres homothétiques, et, par suite, le rapport des aires de deux surfaces homothétiques quelconques, est égal à k*.

Lorsqu’on abaisse des perpendiculaires de deux sommets homologues de deux tétraèdres bomothéliques sur les faces opposées, ces perpendiculaires sont deux droites homologues, elles ont pour rapport k; le rapport des bases étant A*, il en résulte que le rapport des volumes de deux tétraèdres homothétiques est égal à k*. Ce dernier théorème s’applique à deux polyèdres et même à deux solides quelconques homothétiques.

^72 — Une figure est semblable à une figure donnée lorsque, par un déplacement convenable, elle peut coïncider avec l’une des figures directement homothétiques à la figure donnée. Il résulte du n” 469 que l’on obtiendra toutes les surfaces semblables à une surface donnée, en prenant arbitrairement un centre de similitude, et en construisant avec ce centre les diverses surfaces homothétiques qui correspondent aux valeurs de A comprises entre o et oc .

Eximpli I. La surface donnée est une sphère. Prenons le centre de la sphère O pour centre de similitude; le rayon OA étant constant, le rayon OA' sera également constant; une surface semblable à une sphère est une autre sphère qui peut avoir un rayon quelconque.

Exkiiple II. La surface donnée est un cône. Prenons le sommet pour centre de similitude, deux points homologues seront situés sur la même génératrice du cône. La seule figure settiMable à un cône est ce cône luiméme,

ExEHrLS III. La surface est un cylindre. Prenons vu peint arbitraire O pour centre de similitude, et traçons sur le cylindre donné ane conrbe srUtnire C, que nous prendrons pour directrice du cylindre. A la courbe C eorrespond une courbe homothétique C', et à toute génératrice du premier cylindre une droite parallèle passant par le point homologue du point où la courbe C est rencontrée par la première génératrice; ainsi, deux cylindre$ sont homothétiques lorsqu'ils ont pçur directrices deux courbes homothi^ tiques et leurs génératrices parallèles.

DE LA SIMILITUDE

Considérons drux cylindres homotbéliques, ayant le point O pour centre de similitude; si l'on mène par ce point une parallèle 00' aux génératrices des deux surfaces, tout point de cette droite est aussi un centre de similitude des deux surfaces. Il en résulte que les sections de deux cylindres liomotbétiques par le même plan sont des courbes homolbétiques, ayant pour centre de similitude le point où le plan coupe la droite 00'. Comme les sections d’un cylindre par des plans parallèles sont égales, les sections de deux cylindres bomotbétiques par des plans parallèles sont bomothétiques.

^73-Les sections d’une surface du second degré par des plans parallèles sont des courbes homothétiques. L’éqnalion générale des surfaces du second degré est

(i) M'z'-+-2Byz-i-2Bzx-j-vih"xy ..

H- aCo? -t- zCy ■+■ aC'z -h F = o;

on obtient la projection sur le plan XOY de l’intersection de celte surface et du plan

(2) ax-i-by-+-cz = l,

en éliminant la variable z entre les équations (i) et (2). Or, dans l'équation ainsi obtenue, les coefficients des termes du second degré sont indépendants de l; on en conclut que, lorsque l varie, o, 6, c restant fixes, c’est-à-dire lorsque le plan se déplace parallèlement à lui-même, les projections sont homothétiques; les cylindres projetants, ayant pour directrices des courbes homothétiques, sont coupés par deux plans parallèles suivant des courbes homothétiques. Quand ces courbes sont des hyperboles, l’une peut être homothétique à la conjuguée de l’autre (n" 386).