Considérons en particulier les surfaces du second

degré : soit

(5) f{x, y, s) = Aa;*-t-A'y*-l-A''z’ + 2Bî/2 4-2B'za:

2 B"a:y -h- 2 Cx -1- 2C' y -I- 2 C"« 4- F = O Uéquation de la surface. On a

f!.= 2(kx 4-B"y-t-B'z -+-C ),

— 2 (Ax*4-A'y*+A''z*4-2Byz4-2B'2x4-2B"xy4-Cx4-C'y4-C"a);

le point M étant sur la surface, ses coordonnées vérifient l’équation (5), et l’expression précédente se réduit à

— 2 (Cx 4" C/ y 4~ C*z 4~ F).

L’équation du plan tangent devient ainsi

(6) (Ax 4- B''y 4- B'z 4- C) X 4- (B’’x 4- A'y 4- Bz -t- C') Y 4- (B'x 4- By 4- A"z 4- C") Z 4- (Cx 4- C' y 4- C"z 4- F) = o.

On remarque que les coordonnées du point de contact n’entrent qu’au premier degré dans cette équation. Comme on peut mettre cette équation sous ia forme

(7) (AX 4- B' Y B' Z 4- C) X 4- (B''X 4- A' Y 4- BZ 4- C') y 4- (B'X 4- BY 4- A"Z 4- C") z 4- (CX 4- C'Y 4- C"Z 4- F) = o,

on remarque aussi qu’eile ne change pas, quand on permute ies lettres x et X, y et Y, z et Z.

Proposons-nous maintenant de mener des plans tangents à la surface par un point donné P, non situé sur la surface et ayant pour coordonnées x,, y„ z,. Prenons pour inconnues les coordonnées x, y, z de l’un des points de contact M ; ces coordonnées doivent vérifier l’équation (5); d’autre part, le plan tangent en M devant passer par le point P, les coordonnées de ce point vérifient l’équation (6) ou l’équation (7), et l’on a

(8) (Ax, 4- B"y , 4- B' z, 4- C) X 4- (B"x, 4- A'y, 4- Bz, 4- C') y 4“ (B'x, -H By, 4- A"z, 4- C’) z 4“ (Cx, 4- C'y, 4- C’ z, 4- F) = o.

Le lieu du point de contact est la courbe plane suivant la-

quelle le plan (8) coupe la surface du second degré. Considérons le cône qui a pour sommet le point P et pour directrice cette courbe plane; par un point quelconque M de celte ligne passe une arête du cône, laquelle est située dans le plan langent en M à la surface; ce plan contenant aussi la tangente en M à la courbe directrice n’est autre cliosc que le plan tangent au cône suivant Tarêle PM; le cône est donc tangent à la surface du second degré en tous les points de la courbe directrice.

EXERCICES

t» I.'axe d'un eûne de révuliuion pnsae ù l'origino des coordonnées el fait avec les axes des angles x, y; l’angle du cûne estO; trouver l'équation de la surface.

Comme apjilicaiion, trouver les conditions pour que l'équation du second degré

Aa-*+ A'y’4- A''i’ + 2Bi/: •+■ 2B”.r(/= 0

représente un cône de révolution.

2* Étant donné un ellipsoïde de révolniion aplati (surface engendrée par une ellipse tournant autour de son petit axe); le cône, engendré par une droite qui tourne amour du foyer de l'une des ellipses méridiennes en s'appuyant sur la section fuite dans la surface par un plan passant par la directrice qui correspond à ce foyer, est un cône de révolution.

3° Étant donné un ellipsoïde de révolution allongé (surface engendrée par une ellipse tournant autour de sou grand axe;, le cône, qui a pour sommet l'un des deux foyers des sections méridiennes et pour base une section plane quelconque, est de révolniion.

i* La projection d'nne section plane du cône circulaire droit sur un plan perpendiculaire à l'axe mené par le sommet du cône, a pour l'un de ses foyers le sommet du cône, el jvour directrice correspondante la droite de rencomro des deux plans.

5' Lorsqu'une section plane d’nn cône circulaire droit est une ellipse, la somuie des arêtes qui aboutissent aux extrémités d’iin diamètre de l'ellipse est constante.

6® Démontrer qu'un plan langent au tore et passant par le centre coupe la surface suivant deux cercles.

La sphère qui a pour grand cercle un cercle tangent aux deux cercles qtii forment l’un des méridiens du tore coupe le tore suivant deux cercles.

7* Trouver la section droite d'un cylindre circonscrit à un tore.

8* Démontrer que les six arêtes de deux trièdres trirectangles, ayant même sommet, appartiennent it un même cône du deuxième degré.

9" Étant donné un conoïde dont l’axe est perpendiculaire au plan directeur et qui enveloppe une sphère; trouver les projections de la courbe de contact sur le plan directeur et tu: le plan mené par l’axe et le centre de la sphère.

40* Étant donné un système d’axes rectangulaires, un tore a [>our méridien dgqs le plan ZOX un cercle qui a son centre sur l’axe OX ; cet axe rencontre le cercle en un point A, centre d'un nouveau cercle égal au premier et compris dans un plan parallèle à ZUY, une droite qui reste parallèle au plan XOY décrit un conoïde en s’ap[iiiyaut sur ce second cercle et sur l’axe OZ; on demande la projection sur le plan XOY de la combe de rencontre des deux surfaces.

4 1“ On suppose que le plan du second cercle du problème précédent s’enroule sur un cylindre circonscrit au tore et ayant des arêtes parallèles i l’axe du tore, et on remplace la directrice courbe du conoïde par la combe en laquelle s’est transformée le cercle après renruulementdu plan; trouver la projection sur le plan XOY de la ligne de rencontre du nouveau conoïde et du tore (spirale d’Archimède).

42“ Lorsque deux surfaces réglées ont une génératrice commune, il y a généralement deux points de celte génératrice pour lesquels le plan langent il chacune des surfaces est le même; déterminer ces deux points. Si les deux surfaces ont le même plan langeul pour trois points de la génératrice, elles se raccordent le long de cette droite.

43” Lorsque deux surfaces réglées, décrites par des droites qui se meuvent en restant parallèles au même plan, ont une génératrice commune, il y a généralement un point de celle droite, pour lequel les deux surfaces ont le même plan langent; déienniner ce point. Si les deux surfaces ont le même plan tangent en deux points de la génératrice commune, elles se raccordent le long de cette droite.

IA* Une sphère a son centre à l’origine des coordonnées que l’on suppose rectangulaires, l’axe OX perce la sphère en un point A; dans le plan XOY, sur 0.\ comme diamètre, on décrit un cercle qui sert do base à un cylindre dont les arêtes sont parallèles à OZ; trouver, l“lcs projections sur les trois plans coordonnés de lu courbe de rencontre du cylindre et de la sphère; 2* l’équaiion du céine «lui a pour directrice cette courbe et pour sommet le point A, ce cône est un cône de révolution; S" les traces sur les plans des coordonnées des tangentes à la courbe.