CENTRE

473» — Un point 1 est le centre d’une surface, lorsque les points de la surface sont placés symétriquement, deux à deux, par rapport à ce point. Comme une ligne droite ne rencontre une surface du second degré qu’en deux points, il faut, pour qu’un point I soit le centre de la surface, que toutes les cordes menées par ce point y soient divisées en deux parties égales.

Lorsque l’origine des coordonnées est centre d’une surface du second degré, l’équation de la surface ne contient pas de termes du premier degré. En effet, les équations d’une droite

CENTRE ET PLANS DIAMÉTRAUX. m

Mieuée par Torigine sont de la forme

(a) a; = mz, y = nz.

Les coordonnées j; des points de rencontre de la surface et de la droite sont données par l’équation

(3) (A w’ 4- A' n’ -f- A" -f- 2 B n -f- 2B' m-h aB'mn) s*

-t- 2(Cni -f- C'n 4- C") 2 + F = o,

que l’on obtient en éliminant a; et y entré les équations (i) et (a). Si l’origine est centre, l’équation (3) a ses racines égales et de signes contraires, ce qui exige que le coefficient Cm4-C'n4-C" soit nul; et comme ceci doit avoir lieu pour une infinité de valeurs de m et de n prises arbitrairement, il faut que l’on ait séparément

La réciproque est vraie.

4y 6— D’après cela, pour déterminer le centre d’une surface du second degré, on transporte l’origine en un point I de l’espace, dont nous désignerons les coordonnées par a, b, c, et l’on cherche s’il est possible de choisir ces valeurs de manière que la nouvelle équation ne contienne pas de termes du premier degré par rapport aux coordonnées nouvelles.

Lorsqu’on déplace les axes parallèlement à eux-mêmes, les formules de transformation sont x = a-hx', y = h-\-yf, 3 = c4-2'; substituons dans l’équation (i) et effaçons les accents, nous aurons

(4) Ax*4- A'y*4- A"z*4- aBya 4- 2B'zx 4- 2B" a;y

4- xfi (o, b, c) 4- y fl (a, b, c) 4- s/l (a, 6, c) 4- f(a, 6, c) = o.

Les coordonnées du centre sont donc déterminées par les équations

fi (o, b, c) = o, fl (a, b, c) = o, f. (o, b,c) = o;

si l’on divise par 2 et si l’on remplace les lettres a, 6, c par x, y, Z, ces équations deviennent

i Aa;4-B"y-t-B'«-l-C =0,

Ainsi, on obtient les coordonnées du centre en égalant à ûre les dérivées partielles du premier membre de l’équation de la surface prises par rapport aux variables x, y, z.

477— Si l’on regarde x, y, z comme étant les coordonnées d’un point variable, chacune des équations (5) définit un plan; le centre de la surface est le point commun aux trois plans. Plusieurs cas peuvent se présenter.

I** Les trois plans se coupent en un point unique; la surface admet alors un centre unique.

2* Les trois plans se coupent deux à deux suivant des droites parallèles, ou d’eux d’entre eux au moins sont parallèles; dans ce cas, les trois plans n’ont pas de point commun, et la surface n’a pas de centre.

3° Les trois plans se coupent suivant la même droite ou se confondent en un seul; tous les points de la droite ou du plan sont centres de la surface.

La résolution des équations (5) donne pour valem* du dénominateur commun D,