D = AA' A" — AB* — A' B'* — A "B"* + 2 BB' B

lorsque D n’est pas nul, les équations sont vérifiées par un système de valeurs finies et par un seul; la surface admet un centre unique. Lorsque D est nul, il y a impossibilité ou indétermination, et, par conséquent, la surface est dépourvue de centre, ou elle en admet une infinité.

478— Supposons que tous les points de la droite CC' fig. 270) soient des centres. Si l’on joint un point M de la sur-

face à un point quelconque 1 de la droite CC', et que l’on prolonge d’une longueur IN égale à MI, le point N appartient à la surface; en joignant ainsi le point M à tous les points de CC', on obtient une droite NN' parallèle à CC'. Si l’on joint maintenant le point N à tous les points

Fig. m.

de CC', on forme de même une seconde

droite MM' parallèle à NN'. La surface se compose donc de

droites parallèles à CC' et situées deux à deux dans un même

CENTHE ET PLANS DIAMÉTRAUX. 423

plan avec celte droite et à égale distance de part et d’autre ; c’est un cylindre qui a pour a)ce CC^ et, comme la trace du cylindre sur un plan non parallèle aux arêtes est une courbe du second degré, ce cylindre est un cylindre elliptique ou hyperbolique.

Le raisonnement précédent démontre que, dans le cas que nous considérons, l’équation (i) ne peut pas représenter d’autres surfaces courbes que des cylindres elliptiques ou hyperboliques; mais il peut arriver que celte équation représente une seule droite ou deux plans, et enûn qu’elle n’ait pas de solutions réelles.

On démontre de la même manière que, lorsque tous les points d’un plan sont des centres, l’équation (i) représente, ou deux pians parallèles, ou un plan unique, ou qu'elle n’admet pas de solutions réelles.

47® — Lorsq ue la surface admet un centre 1 ayant pour coordonnées a, b, c, si l’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en ce point, l’équation (i) se réduit à

(7) Aa;*-t- A'ÿ*4- A"x’-+- 28^5 4- 2B' zx -t- xy + F, = o,

en posant

F, = Ao’-t- A'é*-i- A''c*-f- 2B6c-t- 2B'ca -t- 2B'' ah -+- 2Ca -f- 2C'& -t- zQJ'c -1- F.

Les nombres o, 6, c vérifient les relations (5), c’est-à-dire que l’on a

A a-t-B''fc-(-B' c-i-C =0,

Si l’on multiplie les deux membres de chacune de ces égalités respectivement par a, b, c, et que l’on ajoute, il vient Aa*-\-A!b*+\"c*+2Bbc-h2Wca + 2B''ab-\-Ca+C'b+G'c—o. La valeur de Fj se réduit donc à

F, = F-|-Co4-C'6 + C"c;

on l’obtient en ajoulanl à l'ancien terme conslanl la moitié des valeurs que prennent les termes du premier degré lorsqu'on y remplace x, y, z par les coordonnées du centre.

134 LIVKE VI, CHAPITRE I.

Lorsque la nouvelle conslante F, est égale à zéro, l’équatiou (7), étant homogène par rapport à x, y, z, représente un cône ayant pour sommet l’origine (n° 254); cependant, le lieu peut se réduire à deux plans, à une droite, ou à un point.'

480— Nous avons vu que les tangentes aux diverses courbes tracées par un même point sur une surface sont situées dans un même plan; il n’y a d’exception que lorsque les coordonnées du point annulent à la fois les trois dérivées partielles du premier membre de l’équation par rapport à X, y, Z. Dans le cas des surfaces du second degré, un pareil point est centre de la surface; ce point étant aussi situé sur la surface, quand on y transporte l’origine des coordonnées, la constante F, est nulle; ainsi, pour les surfaces du second degré, l’exception n’a lieu que dans le cas du cône, 'quand le point est le sommet.

PLANS mAUETRALX.

481 — Une ligne droite ne perce une sui'face du second degré qu’en deux points; la surface, qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à une même direction, a été appelée surface diamétrale.

Soient m et n les paramètres constants qui définissent la direction des cordes; transportons les axes parallèlement à eux-mêmes en un point quelconque de l’espace, ayant pour coordonnées a, b, c, l’équation (i) prend la forme (4). Une droite, menée par la nouvelle origine dans la direction donnée est représentée par les équations x — tnz, y — nz. On obtient l’équation (jui donne les coordonnées z des points de rencontre de la droite et de la surface, en remplaçant dans l’équation (4) X par tnz, y par nz; on a ainsi

(8) (Am’-t- A' n’-f-A"-j-2Bn H- 2 B' m -t- 28" mn) 3*

+ (wi/’i-l- n/ï-H /c) 3 -t- /" (a, b, c) = o.

Pour que le point (o, b, c) soit le milieu de la corde menée par ce point dans la direction donnée, il faut que l’équation ])récédente ait scs deux racines égales et de signes contraires,

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ce qui exige que les coordonnées a, b, c vérifient la relation m/I + -1- /"î = O .

Celte équation, étant vérifiée par les coordonnées du point milieu de l’une quelconque des cordes de la série considérée, représente le lieu cherché. Remplaçons a, b, c par x, y, z; cette équation s’écrit

(9) »w/'i (a?, y, s) nf'y (x, y, z) -H {x, y, z) = o;

comme elle est du premier degré, elle représente un plan. .Ainsi, dans les surfaces du second degré, quelle que soit la direction des cordes, la surface diamétrale est un plan.

4S2 — Si les paramètres m et n satisfont à la relation

A m* -t- A' n* -1- A" -1- 2 B n -t- 2 B' m -I- 2 B'' mn = O,

l’équation (8) s'abaisse au premier degré, c’est-à-dire que les droites parallèles à la direction donnée ne percent la surface qu’en un point. Dans ce cas, le plan représenté par l’équation (9) est le lieu des points tels que les droites menées par chacun d’eux parallèlement à la direction donnée ne rencontrent pas la surface, ou sont situées entièrement sur la surface.

L’équation (9) est vérifiée, quelles que soient m et n, par les valeurs de x, y, z qui satisfont à la fois aux trois équations qui déterminent le centre.

fx = o, f'^ = o, =

il en résulte que tous les plans diamétraux passent par le centre de la surface, quand il en a un, ou par le lieu des centres, s’il y en a une infinité.

483 — Lorsque la surface est dépourvue de centre, les trois pians définis par les équations (5] sont parallèles, ou la droite d’intersection de deux d’entre eux est parallèle au troisième. Dans le premier cas, on a

a, P, P, q désignant des constantes; l’équation {9) se réduit à

(a nu- fi n I ) f. -H tnp -I- nq = O ; elle représente, pour toutes les valeurs de m et de n, des plans

«(i LIVRE VI, CHAPITRE I-

parallèles entre eus. Uans le second cas, si les plans définiti par les deux équations fi = o, fÿ = o se coupent suivant une droite parallèle au plan f. = o, l’équation générale des plans qui passent par la droite d’intersection des deux premiers étant on a

a, r étant des constantes; et, par suite, l’équation (9) prend la forme

elle représente des plans parallèles à la droite d’intersection des deux plans

fi— O, f^ = o.

Ainsi les surfaces dépourvues de centre ont leurs plans diamétraux parallèles à une même droite ou parallèles entre eux.

484— Considérons une direction à laquelle corresponde un plan diamétral ; si l’on prend pour axe des z une des cordes, pour axe des x et des y deux droites situées dans le plan diamétral, l’équation de la surface devra être vérifiée par deux valeurs de z égales et de signes contraires, pour chaque système de valeurs attribuées arbitrairement aux variables x et y; elle aura donc la forme

f^{x, y) désignant une fonction qui ne renferme plus que les variables x et y et dont le degré ne surpasse pas 2. Déplaçons les axes des x et des y dans le plan XOY en conservant à l’axe des z sa direction ; ce changement de coordonnées s’effectue par les formules de la Géométrie plane. Lorsque la fonction f^ (x, y) est du second degré, nous avons vu (liv. 111, chap. u), que l’on peut d’une infinité de manières choisir les nouveaux axes OX, OY, de telle sorte que celte fonction se réduise à l’une des formes

Mx‘-f-Ny*-f-F,, Ny’-i-ûa:, Ny’-f-Fj, et alors l’équation de la surface sera elle-même ramenée à

rune des formes

(I) Mx*+Nÿ*-FP5‘-HF,=o,

(II) Ny*-t- Ps* + Qa: = o,

(III) Nÿ*-I-P5*+F, = o.

Si la fonction F, est du premier degré, on la ramène par le même changement à la forme Qa;, et l’cqualion de la surface devient

(IV) P5*-|-Qa; = u.

Enfin, si F, ne contient pas les variables x et y, l’équation de la surface est

■ (V) Ps‘ + F, = o.

48S — Dans ce qui précède, les lettres M, N, P, U désignent des constantes différentes de zéro et F, une constante qui peut être nulle. L’équation (III), si elle a des solutions réelles, représente un cylindre elliptique ou hyperbolique, une droite, ou deux plans qui se coupent. L’équation (IV) représente un cylindre parabolique. Si l’équation (V) a des solutions réelles, elle représente deux plans parallèles, ou un plan unique. Ainsi, quand on fait abstraction des cylindres, on voit que l’équation du second degré peut, d’une infinité de manières, être ramenée à l’une des formes (I) et (11).

Considérons l’équation (I) ; en égalant à zéro les dérivées partielles de son premier membre, on obtient trois équations qui ont une solution unique; la surface admet donc un centre unique, l’origine des coordonnées. Chacun des plans des coordonnées est le plan diamétral des cordes parallèles à l’intersection des deux autres ; à cause de cette propriété, on les nomme plans diamétraux conjugués.

L’équation (II) représente des surfaces dépourvues de centre, puisque l’équation fl,= o se réduit à Q = o. Le plan XOZ partage en deux parties égales les cordes parallèles à OY et le plan XOY les cordes parallèles à OZ; les lignes parallèles à OX ne percent la surface qu’en un point, et il n’y a pas de plan diamétral correspondant.

DIAMÈTRES

4 S6 — Nous avons vu que les sections faites par des plans

parallèles daus une surface du second ordre sont des courbes bomolbéliques (n’’473); quand ces courbes sont des courbes à centre, le lieu des centres s’appelle diamètre.

Le plan sécant est représenté par une équation

(lo) ax-\-by-+-cz = l

dans laquelle a, b, c sont des constantes, et l un paramètre variable; si, dans l’équation de la surface f{x,y,z) = o, on remplace z par sa valeur

tirée de l’équation du plan, on obtient l’équation de la projection de la courbe d’intersection sur le plan desa;^; pour avoir le centre de la courbe projection, il faudra égaler à zéro, les dérivées relatives à æ et à j/. Mais on peut obtenir ces dérivées sans faire la substitution; il suffit d’appliquer à la fonction f{x, y, z) 1e théorème des fonctions composées en regardant z comme une fonction des deux variables x et y donnée par la formule (ii); on a ainsi les deux équations

Quand on projette une courbe sur un plan, il est évident que le centre de la courbe proposée se projette au centre de la courbe projection; les équations (12), jointes à l’équation du plan, détermineront donc le centre de la courbe d’intersection. Comme les équations (12) ne contiennent pas le paramètre variable l, elles représentent le lieu des centres; ainsi le diamètre est la droite représentée par les équations