NOMBRE DES PLANS PRINCIPAUX

404 — Le plan diamétral des cordes parallèles à la direction (a^ P, y) donné par l’équation (19)

S (ax 4- Py -H Y*) (Ca -+- C' P -f- C" y) = o.

Ainsi) à chaque direction des cordes donnée par une racine S différente de zéro correspond un plan principal.

Si une racine S est nulle, le plan principal n’existe plus. Cependant si l’on a Ca-|-C'p-|-C"Y = o, l’équation (19) devient une identité, et la position du plan principal est indéterminée; tout plan perpendiculaire à la direction des cordes est un plan principal; dans ce cas, la surface est cylindrique. D’après l’équation (i5), si une racine S est nulle, les droites correspondantes ne rencontrent la surface qu’en un seul point.

Il est bon d’observer que l’équation en S a toujours au moins une racine différente de zéro; car les trois racines ne sont égales que si l’on a B = B' = B" = o; alors ces racines, étant égales à A, A', A", ne sont pas toutes trois nulles, sans quoi l’équation proposée ne serait pas du second degré. On peut, d’ailleurs, démontrer cette propriété de l’équation {22), indépendamment de l’étude que nous en avons faite; en effet, si les trois racines étaient nulles, on aurait, en égalant à zéro les coefQcients de S* et de S,

.4 -t- A' 4- A" = ( AA' 4- A' A" -4 A" A — B’ — B" - B"* = o;

si du carré de la première quantité, on retranche le double de la seconde, il vient

A‘ -4- A'« A"* + 2 B* -H aB'» 4- 2 B"‘ = o,

d’où A = A' = A" = B = B' = B'' = o, et l’équation ne serait plus du second degré. Ainsi toute surface de second degré a au moins un plan principal.

405 — Nous avons vu que, si l’on fait abstraction des cylindres, ré(iuation du second degré peut être ramenée à l’une des deux formes

(a) Mx’-|-Ni/*-4-Pz’-f-F, = o, (p) Ny*4-P*’-t-Qx = o;

la première convient aux surfaces qui ont un centre unique, la seconde à celles qui sont dépourvues de centre. Si le plan diamétral qui a servi a effectuer la réduction est un plan principal, comme on peut effectuer tes réductions ultérieures en prenant dans le plan principal deux axes rectangulaires, l'équation de la surface sera ramenée à Tune des deux formes (a) et (P) en coordonnées rectangulaires.