BB'B

DISCUSSION DE l’ÉQCATION DD TROISIÈME DEGRÉ.

491 — Considérons d’abord le cas le plus général, celui où aucun des coefficients B, B', B" n’est nul. Prenons l’équation en S sous la forme (24) .

I. — Supposons que les trois quantités a, b, c soient différentes et rangées par ordre de grandeur croissante. Substituons successivement à la place de S, dans le premier membre de l’équation (24), les quantités a rte, ùrte', crhe", (e, e', e") désignant de très-petites quantités positives. Par la première substitution, le premier terme de l’équation prend la valeur

rhg^. très-grande numériquement, tandis que les autres

termes conservent des valeurs flnies; ce' premier terme donne donc son signe au polynôme. De même, par la seconde substitution, le second terme prend la valeur très-grande — g;îp’

tandis que les autres termes conservent des valeurs finies; ce second terme donne donc son signe au polynôme. De même,

par là troisième substitution, le troisième terme donne

son signe au polynôme.

Quand S varie de a + e à b — le premier membre reste fini et varie d’une manière continue; puisque ces deux nombres donnent des résultats de signes contraires, ils comprennent entre eux une racine réelle de l’équation ; ainsi il y a une racine réelle de l’équation comprise entre a et b. On reconnaît de la même manière qu’il y en a une seconde entre b et c. Il y en a une troisième plus grande que c ou plus petite que a, suivant que BB'B" est positif ou négatif; en effet, quand on donne à S une valeur très-grande numériquement, le premier

membre de l’équation (24) se réduit à

bFb

s; donc si la

quantité BB'B" est positive, le premier membre change de signe quand S varie de c-t-e'' à 4-«o, et, par suite, il y a une racine réelle plus grande que c; lorsque la quantité BB'B'' est négative, le premier membre change de signe quand S varie de — oc à a — s; dans ce cas, la troisième racine est plus petite que a.

Ainsi, dans le cas que nous considérons, les trois racines de l’équation sont réelles et inégales. A chacune de ces racines correspond une direction des cordes unique et déterminée; car, si dans les relations (23) on remplace S par l’une des racines, les trois parenthèses étant différentes de zéro, on obtient pour les trois cosinus des valeurs finies et déterminées.

II. — Supposons que deux des trois quantités a, b, c, par exemple a et b, soient égales. Les trois racines sont encore réelles et inégales; mais l’une d’elles est égale à a. En effet, l’équation (24), mise sous forme entière, devient

-H B* B'* (S a) (S — 6) — BB’B" (S — a) (S — 6) ( S - c) = o.

Quand a = b, le premier membre est divisible par S — a, et l’on a l’équation du second degré

R//* (B* H- B'*) (S— c)-hB*B'* (S— a)— BB'B'MS — O) (S — c) = 0.

Le premier membre prenant des valeurs de signes contraires, quand on attribue à S les valeurs o et c, cette équation a ses deux racines réelles et l’une est comprise entre a et c.

Si dans les relations (23) on remplace S successivement par chacune des racines de l’équation du second degré, aucune des trois parenthèses ne s’annullc, et chaque racine donne une direction unique et déterminée. Pour la première racine a, les deux premières parenthèses sont nulles, sans que la dernière le soit; il en résulte y = o. Pour vérifier les équations (20), il faut prendre en outre B'a-f-BP = o, ce qui détermine encore une direction unique parallèle au plan des xy.

III. — Enfin, si les trois quantités a, b, c sont égales, deux BR. 58

i3i LIVRE VI, CHAPITRE I.

racines de l’équation (25) deviennent égales à a, et la troisième est donnée par l’équation du premier degré

(B'«B -f- IV'’ B’ -t- B’ B'’) — BB'B"(S — o) = o.

A cette racine simple correspond une direction unique. Pour la racine double, les trois équations (20) se réduisent à une seule B'B'''a-t-B"B^-(-BB'Y = Oj et il y a indétermination; toutes les directions parallèles au plan B'B".r-t-IV'B.v-f-BB'z=<) conviennent à celte racine double.

493 — Considérons maintenant le casoù les trois coefflcienls B, B', B ' ne sont pas difTérents de zéro.

I. — Un seul coefficient est nul, par exempte B'^ L’équation du troisième degré (22) devient

Soit A< A'; les substitutions de — sc , A, A', +oc dans le premier membre donnent des résultats affectés respectivement des signes — , H-, — , donc l’équation a scs trois racines réelles et inégales. Les équations (20) donnent pour chacune d’elles une direction déterminée; car des deux premières on déduit

cc &

des valeurs finies pour les rapports -* y

li. — Deux coefficients sont nuis, par exem|ilc B' et B". L’équation du troisième degré (22} se réduit à

elle admet la racine A et deux racines réelles et inégales données par une équation du second degré. Si la quantité (.A — A!) (A — A") — B’ est différente de zéro, aucune des deux racines de l’équation du second degré n’est égale à A, et, par conséquent, les trois racines sont inégales; pour S = A les équations (20) se réduisent à

(A' — A)P-|-By = o, B3-+-(â'’ — A)y = o,

et ne peuvent être vérifiées que par les valeurs p = o, y = o, d’où a = i, cc qui donne une direction bien déterminée. Pour chacune des deux autres racines, ces équations se rédui-

CKMFiE ET PLANS DtAMÉTRALX. A3.'i

' senl à a = o, (A' — S)P+ By = o, cc qui lionne encore une direction bien déterminée.

Si l’on a (A — A') (A — A") — B’ = o, l’une des racines de l’équation du second degré étant égale à A, l’équation admet la racine double A et une racine simple. A la racine simple correspond une direction déterminée; pour la racine double A, les équations (20) se réduisent à une seule

(A'— A) P + By =0,

ce qui donne foules les directions parallèles au plan

(A' — A)y-+-Bi = o.

III. — Lorsque les trois coefficients B, B', B" sont nuis à la fois, l’équalion en S se réduit à

et admet pour racines A, A', A". Quand ces trois racines sont inégales, les équations (20) monlrent qu’à ces racines correspondent des directions respectivement parallèles à chacun des trois axes coordonnés. Si A = A', à cette racine double correspondent toutes les directions parallèles au plan des xy. Enfin, si A = A' = A", à celte racine triple correspondent toutes les directions de l’espace; il y a ici indétermination absolue; car les équations (20) deviennent alors des identités.

Ainsi, en résumé, Véqualion du troisième degré en S a toujours ses trois racines réelles. A une racine simple correspond une direction déterminée; à une racine double toutes les directions parallèles à un plan; à une racine triple toutes celles de l’espace.

A03— Soient (a, p, y), (a’, p', y) les cosinus des angles que font avec les axes des coordonnées les directions qui correspondent à deux racines différentes S et S’. On a, en vertu des équations (20),

/ Aa +B’’p-f-B'y = So!, / Aa' -+-B’'p'-t-B'y =S'a', B"a-hA'P-h-By =Sp, B'V-t- A'P'-t-By =S-p',

l B'a-I-Bp -+-A"y=Sy, l BV-t-Bp' -t-A'Y=Sy.

Multiplions les premières équations respectivement par les secondes par a, y, et de la somme des premières retranchons celle des secondes; il vient

(S — S') /cul' PP' -t- YY^) = O ou aa'-f-pP'-f-YY' = o.

Donc les directions qui correspondent à deux racines différentes sont perpendiculaires entre elles.

11 en résulte que les directions qui correspondent à une racine double sont toutes perpendiculaires à celle qui correspond à la troisième racine.