PREMIER CAS. D ^ O

4®6— On commence par transporter les a\es parallMemenf

à eux-mêmes au centre de la surface; l’équalion générale du second degré

(i) Ax--4- A'ÿ’-+- +

devient

(2) A®*-4- A'y’-t- A"z’-f-2Byz -|-2B'ra:-|-2B''a*y -4- Fj = o;

les coefficients des termes du second degré ne changent pas, et nous avons appris à calculer la constante F, (n® 479)- Supposonsd’abord les trois racines de l’éiiuation du troisième degré en S diUérentes et désignons-les par S, S', S"; soient, de plus, (a, P, y), (a', [i', 'j''), (a", fi", y”) les cosinus des angles que font avec les axes les directions qui correspondent à ces trois racines. Si l’on change les axes des coordonnées en prenant ces trois directions pour celles des nouveaux axes, les formules de transformation sont

y = Pay + fi'ÿ'-4-^"z',

et l’équation de la surface aura la forme

Ma/* -4- Ny" -4- Pz'» -I- F, = O,

puisqu'elle ne doit plus contenir les produits des variables. Mais on a

M = A a* -t- A' P* -4- A" y’ + 2 B PY + 2B' Y« -4- 2 B" a, 3,

c'est-à-dire M = S (n“ 487). Par la même raison, on a N = S' et P = S". Ainsi, dans ce cas, l’équation réduite est

(4) Sa:'*H-S^y'*-HS"z'‘-4-F, = o.

49J' — 11 est facile de vérifier que les coefficients des rectangles des variables dans la nouvelle équation sont nuis. Prenons, par exemple, le coefficient 2B, du terme en y'z', on a

B, = Aa'a" k' [i' H- A' Y/ + B (fl' Y+f ?>")

-4- B' (f a" -h a' y'O -H B" (a' fl" -4- fl' a").

HÉDIJCTION ÜE L’EUEATION DU SECOND DEGRÉ 430 Si l’on multiplie les deux membres de chacune des relations

B' a'4-B lî'4-A"y = SY-

respectiTement par a!', fi", y' et que l’on ajoute, il vient

B, = S' {%' a" + fi' ,'i" 4- y' /') .

Les deux directions (a', fi', -f), (a", y") étant rectangu-

laires, on en conclut que B, = o. On verrait de même que b',=b:;=o.

40S — Lorsque deux racines de l’équation du troisiètne degré sont égales, à la racine simple correspond un plan principal déterminé, et à la racine double une infinité de directions de cordes parallèles à ce plan; si l’on prend pour nouveaux axes deux droites rectangulaires situées dans ce plan et la per|tendiculairc au plan, la méthode précédente est applicable, et l’on obtient l’équation

qui représente une surface de révolution autour de l’axe OZ'. Enfin, si les trois racines sont égales, en prenant trois nouveaux axes rectangulaires quelconques, l’équation est toujours S(x'*4-y'’-t-x'’) -l-F, = o; elle ne peut représenter qu’une sphère.