DEUXIÈME CAS. D = O

499 — Dans ce cas, commençons par changer la direction des axes, en prenant pour nouveaux axes les directions qui correspondent aux racines de l’équation du troisième degré, ou, si celte équation a des racines égales, un des systèmes en nombre infini de trois directions rectangulaires déterminées par ces racines. On démontre, comme on l’a fait algébriquement dans le cas précédent, que B, = Bf =B'f = o; les coefficients des carrés des variables ont encore pour valeurs S, S', S". Si donc une seule racine S est nulle, et que l’on prenne pour axe OX' la direction déterminée par celle racine, l’équation de la surface est

aGf ?/ ;>C'f 2' 4- F = 0.

m LIVKE VI, CHAPITRE H.

Les coefficients C,, C^, C, ont pour valeurs C. =Ca 4-C'|3 +C"y,

C'; = Ca"+C'P"4-C"f'.

En déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, on ramène réquation précédente à la forme

S'ÿ’ -t- S" s’ + 2C^X = O, si C, est différent de zéro, et à la forme

si C, est nul. Le coefficient C, qui subsiste dans l’équation réduite est celui qui correspond à la racine simple S = o.

500— Si deux racines S et S' sont égales à zéro, par la première transformation l’équation devient

Nous avons vu que, pour cette racine double S = o, les relations {20) du n® 489 se réduisent à une. Pour déterminer l’une des directions correspondantes, on peut joindre à cette équation une seconde cqualion prise à volonté; nous prendrons Ca'-f C'(Ï'-)-C"y' = 0;

de celte manière on aura CJ = o. L’autre direction sera ensuite complètement déterminée, ainsi que le coefficient C,. Cela posé, en déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, on ramènera l’équation à la forme

si Cj est différent de zéro, et si C, est nul, à la forme S"s*-q-F,=o.

Remarque. Lorsque deux racines S' et S" sont égales sans être nulles, la surface est une surface de révolution. Si les trois coefficients B, B', B" sont diftérenls de zéro, les conditions pour qu’il y ait une racine double sont (n“ 491)

et si l’on appelle a, p, y les cosinus des angles de la direction

DE L’ELLlPSOIDE. 44i

de l’axe de révolution avec les axes des coordonnées, on a

Lorsqu’un seul des coefficients B, B', B" est égal à zéro, l’équation en S u’a jamais de racine double. Si deux coefficients B', B” sont nuis, la condition pour l’existence d’une racine double est {n“ 49?)

(.V — A) (A" — A) — B* = o; et, dans ce cas, on a

fÉ. " O ‘ •