CÔNE ASYMPTOTE

&19 — On dit que deux hyperboloïdes sont conjugués, lorsqu’ayant même centre et mêmes axes en grandeur et en direction, les axes réels dans l’un sont imaginaires dans l’autre; il est clair que les équations

représentent deux hyperboloïdes conjugués. Un plan sécant mené par l’axe OZ coupe ces deux surfaces suivant des hyperboles; l’hyperbole située sur l’hyperboloïde à deux nappes a pour axe transverse CC'; celle qui est située sur l’hyperboloïde à une nappe a pour axe transverse le diamètre suivant lequel le plan sécant coupe l’ellipse de gorge. Soit y — mx l’équation du plan sécant; l’équation

1 =db I .

provenant de l’élimination de y donne les projections des courbes d’intersection sur le plan XOZ; ces courbes projections sont des hyperboles conjuguées ayant pour asymptotes communes les deux droites représentées par l’équation

Fig. ao.

Si, à cette équation, on joint celle du plan sécant y = mx, on aura les asymptotes des hyperboles dans l’espace. Imaginons

Digillzed by GoogI

DES HYPERBOLOIDES.

actuellement que le plan sécant tourne autour de Taxe OZ; ces asymptotes décriront un cône que nous appellerons cône asymptote des hyperboloïdes; on obtient son équation en éliminant le paramètre variable m entre les deux équations précédentes, ce qui donne

Ainsi les deux byperboloïdes conjugués ont même cône asymptote. L’byperboloïde à deux nappes est situé à l’intérieur du cône, l’byperboloïde à une nappe à l’extérieur (flg. 280).

S13 — Plus généralement le cône asymptote est le lieu des asymptotes de toutes les hyperboles déterminées dans les deux surfaces par des plans passant par le centre. En effet, soit z = mx-hny l’équation du plan sécant, les courbes d’intersection ont pour projections sur le plan XOY

1/ (mx -I- ny)^ ,

les asymptotes sont représentées par l’équation

X* , y* (mx-^ny)*„

jointe à celle du plan sécant. 11 arrive ici que l’on peut éliminer à la fois les deux paramètres variables m et n entre ces équations, ce qui reproduit le cône asymptote

Nous ferons remarquer que, lorsqu’un byperboloïde est rapporté à ses axes, si dans l’équation on supprime le terme constant, on obtient le cône asymptote, et que, si l’on change le signe de ce terme constant, on obtient l’byperboloïde conjugué. Il est clair, d’après les formules de transformation des coordonnées, que la même propriété a lieu quand la surface est rapportée à des axes de coordonnées quelconques passant par le centre.

métrai dépend de la direction des cordes. I^r le centre, menons une parallèle aux cordes ; si cette droite est située à l’intérieur du cône asymptote, il est évident que chaque sécante rencontre les deux nappes du cône et que, par conséquent, le point milieu est entre les deux nappes; le plan diamétral, ayant tous ses points entre les deux nappes, coupe le cône suivant un point. L’byperboloîde à une nappe, étant situé à l’extérieur du cône asymptote, sera coupé parle plan diamétral suivant une ellipse réelle; cette ellipse est la courbe de contact d’un cylindre ayant ses génératrices parallèles aux sécantes et circonscrit à l’iiyperboloïde ; le cylindre circonscrit est situé à l’intérieur de l’hyperboloïde. L’hyperboloïde à deux nappes étant situé, au contraire, à l’intérieur du cône asymptote, le plan diamétral ne rencontre pas la surface; aucune des sécantes ne devient tangente, et il n’existe pas de cylindre circonscrit dans cette direction.

Si la droite, menée par le centre, est située à l’extérieur du cône asymptote, une parallèle rencontrant le cône percera une même nappe en deux points, et, par conséquent, le point milieu sera situé à l’intérieur du cône; le plan diamétral, pénétrant à l’intérieur du cône, coupera ce cône suivant deux droites, et, par conséquent, les byperboloïdes suivant des hyperboles conjuguées. Chacune de ces hyperboles sera la courbe de contact d’un cylindre circonscrit ayant ses arêtes parallèles à la direction donnée.

— Il est un cas où il n’y a plus de plan diamétral; c’est lorsque la droite menée par le centre appartient au cône asymptote; dans ce cas, toute parallèle ne rencontre la surface qu’en un point et le point milieu est à l’infini. Cependant l’équation (6) représente encore un plan passant par le centre; c’est la position limite vers laquelle tend le plan diamétral, quand la droite (5) se rapproche de plus en plus du cône. Le plan tangent au cône au point {x, y, z] a pour équation

si le point de contact appartient à la droite (5), cette équation

DES HYPERBOLOIDES. 457

devient

c’est réquation (6); ainsi, quand les sécantes deviennent parallèles à une arête du cône asymptote, le plan (6) coïncide avec le plan tangent au cône suivant cette arête.

SBO — Les sections faites dans les hyperboloïdes et dans le cône asymptote par un même plan étant concentriques, le lieu des centres des sections parallèles est le même dans les hyperboloïdes et dans le cône; or, il est évident, à cause de la similitude, que dans le cône ce lieu est une droite passant par le sommet du cône.

Lorsque les sections sont des ellipses, le lieu des centres, ou le diamètre, étant situé à l’intérieur du cône, rencontre l’hyperboloïde à deux nappes, mais ne rencontre pas l’hyperboloïde à une nappe. Lorsque les sections sont des hyperboles, le diamètre étant à l’extérieur du cône, rencontre, au contraire, l’byperboloïde à une nappe et ne rencontre pas l’byperboloïde à deux nappes.

On obtient un système de trois diamètres conjugués de l’hyperboloïde à une nappe en prenant un diamètre quelconque, et, dans le plan diamétral conjugué, deux diamètres conjugués de la section. 11 est aisé de voir que, de ces trois diamètres conjugués, deux OD, OE sont toujours réels, un OF imaginaire. En effet, si le premier diamètre est réel, le plan diamétral, comme nous l’avons dit (n“ 517), coupe la surface suivant une hyperbole, dans laquelle un second diamètre sera réel, le troisième imaginaire. Si, au contraire, le premier diamètre est imaginaire, le plan diamétral conjugué coupe la surface suivant une ellipse réelle, dans laquelle deux diamètres conjugués sont réels. L’équation de la surface rapportée à ces diamètres conjugués prend la forme

Deux hyperboloïdes conjugués, ayant le même diamètre pour la même série de plans sécants, admettent les mêmes

m LIVRE VI, CHAPITRE IV.

systèmes de diamètres conjugués; seulement un diamètre, réel dans Tun, est imaginaire dans l’autre, de sorte que, dans rhyperboloïdc à deux nappes, de trois diamètres conjugués, deux sont toujours imaginaires, et un réel.

. Pour former un système de diamètres conjugués, nous avons ncné par le centre une première droite arbitrairement; il faut, toutefois, que cette droite n’appartienne pas au cône asymptote.

590—11 nous est facile maintenant de compléter l’étude des sections planes des byperboloïdes. Imaginons la surface rapportée à un système de plans diamétraux conjugués dont l’un soit parallèle au plan sécant; l’équation prendra la forme

Considérons d’abord l’byperboloïde à une nappe. Si le plan sécant est parallèle au plan DOE, la section est une ellipse

«ri

toujours réelle, dont le centre est sur le diamètre imaginaire OF, et qui augmente indéfiniment à mesure que le plan sécant s’éloigne du plan diamétral, d’un côté ou de l’autre. Si le plan sécant est parallèle au plan EOF, la section est une hyperbole

dont le centre est situé sur le diamètre réel OD, et dont les asymptotes sont parallèles à celles de l’byperbole déterminée par le plan diamétral x = o; cette hyperbole admet aussi deux diamètres conjugués respectivement parallèles à OE et à OF. Quand x varie de o à a', le diamètre, réel est parallèle à OE, et ^diminue de 6^ à o; pour x = a! , l’byperbole se réduit à deux droites passant par le point D, et le plan devient tangent a la surface au point D; quand x croit ensuite à partir de a' , le diamètre réel est au contraire parallèle à OF et augmente de zéro à l’infini; l’hyperbole a changé de disposition; d’abord située dans les angles des asymptotes qui comprennent le diamètre OE, elle a passé dans les angles supplémentaires. transition s’opère par le système de deux droites.

DES HYPERBOLOIDES. m

ft 91 —Considérons maintenant l’hyperboloïde à deux nappes. Les sections parallèles au plan DOE sont des ellipses

a/i + jTi —

dont les centres sont situés sur le diamètre réel OF ; quand 2 varie de o à c', l’ellipse est imaginaire; pour z = &, elle se réduit à un point; quand 2 croît à partir de &, l’ellipse devient réelle et augmente indéfiniment. Les sections parallèles au plan EOF sont des hyperboles

dont le diamètre réel est toujours parallèle à OF et augmente indéfiniment. L’hyperbole a toujours la même disposition.

592-Nous n’avons parlé jusqu’à présent que des sections elliptiques ou hyperboliques. La transformation précédente ne peut plus être effectuée, lorsque le plan sécant est parallèle à un plan tangent au cône asymptote; dans ce cas la section est une parabole, égale à celle que détermine le plan sécant sur le cône asymptote, et il est évident, d’après la similitude, que le paramètre de la parabole tracée sur le cône par le plan sécant augmente proportionnellement à la distance de ce plan au centre.

Pour étudier la position de la courbe, nous nous servirons d’une autre forme extrêmement simple, sous laquelle on peut mettre l’équation de l’hyperboloïde. Prenons pour axe des y l’arête suivant laquelle le plan tangent au cône asymptote touche ce cône (fig. 281), pour axe des 2 une autre arête du cône asymptote, et pour axe des x le diamètre conjugué du plan YOZ, l'équation des hyperboloïdes se réduira à la forme ^

(7) Ax*-t-Bÿ2=±i;

car elle ne doit pas contenir de terme du premier degré, et, lorsqu’on y faitx=:o, on doit obtenir l’équation d’une hyperbole rapportée à ses asymptotes. On peut toujours supposer les deux constantes  et B positives. La surface est un hyperboloide à une nappe ou à deux nappes suivant que le second membre

est positif ou négatif; puisque le plan z = o coupe la surface 1,^ dans le premier cas et ne la rencontre pas dans le second cas.

Les sections des deux surfaces par le plan YOZ sont des hyperboles conjuguées. L’équation du cône asymptote est

Aa;*H-Byz = o;

elle montre que les plans XOY et XOZ sont tangents au cône suivant les arêtes OY et OZ. Si la Fig. 381. surface est un hyperboloïde à

une nappe, elle est coupée par le plan z = o suivant deux droites AB, A' B' parallèles à OY (fig. 281) ; tout plan parallèle a = y coupe la surface suivant une parabole Ax’-i- Byy = i, qui a pour diamètre la trace CD d u plan sécant sur le plan YOZ. L’extrémité C de ce diamètre appartient à Thyperbole GH, G'H', suivant laquelle le plan YOZ coupe la surface.

La direction du diamètre change avec le signe de y.

Les sections faites dans l’hyperboloïde à une nappe par les plans z =± y ont la disposition indiquée sur la fig. 281. Quand les deux plans sécants se rapprochent du plan XOY, les points C et C' s’éloignent indéfiniment sur ^‘8- les branches d’hyperbole CG,

C'G', et les deux paraboles tendent vers le système des deux droites parallèles AB, A' B'.

Si la surface est un hyperboloïde à deux nappes, le plan z = O ne rencontre pas la surface, et les deux paraboles données par les plans z==by ont la disposition indiquée par la figure 282. Quand y tend vers zéro, les deux paraboles s’éloignent à l’infini.

DES HYPERBOLOIDES.

SECTIONS CIRCCLAIKES.

5*3— Considérons d’abord l’hyperboloïde à une nappe. D’après les raisonnements qui ont été faits à propos de l’ellipsoïde (n® 5o8), on reconnaît qu’un plan diamétral, qui coupe l’hyperboloïde suivant un cercle, doit passer par l’un des axes réels de la surface.

Lorsqu’un plan BOD (flg. 283), mené par l’axe OB, coupe la surface suivant une ellipse, l’un des axes de l’ellipse est OB,

l’autre la trace OD du plan sécant sur le plan XOZ; mais la longueur de OD est plus grande que OA; pour que OD soit égal à OB, il est nécessaire que OB soit plus grand que OA.

Ainsi, le plan sécant passera par le plus grand axe OB de l’ellipse de gorge. Du point O comme centre, avec OB pour rayon, décrivons dans le plan XOZ un cercle qui coupera Fig. 283. l’hyperbole en deux points D, IV ;

les deux plans BOD, BOIV couperont l’hyperboloïde suivant des cercles.

Tout plan parallèle à l’un de ces plans coupera suivant des cercles l’hyperboloïde proposé, le cône asymptote et l’hyperboloïde conjugué. Lorsque la surface est de révolution, les deux séries de sections circulaires se confondent et deviennent perpendiculaires à l’axe de rotation.

On peut, comme nous l’avons déjà remarqué pour l’ellipsoïde (n® 5o8), mettre en évidence les sections circulaires sur l’équation même. Considérons en particulier le cône

on écrira cette équation sous la forme

en désignant par ^ et ^ les quantités positives ^ ^ et

i«2 LIVRE VI, CHAPITRE IV.

^, + i, on voit que les plans ? — ^ = ael?+^ = p donnent deux séries de sections circulaires; l’équàtion signifie que le produit des sinus des angles que fait une arête quelconque du

cône avec les deux plans cycliques ^ ~ ® ***■ constant.

Par le centre menons un plan qui coupe le cône suivant deux arêtes OM, OM' et les plans cycliques suivant deux droites OP, OQ; appelons a et p les angles que fait l’arête OM avec les plans cycliques, a' et P' les angles que fait l’arête OM' avec ces mêmes plans; appelons en outre y et ^ leS angles du plan sécant avec les plans cycliques; on a

sin a = sinMOP siny, sin p = sin MOQ sin sina' = sin M' OP' siny, sin P' = sinM'OCK sin^ ;

de la relation sina sin p = sin a' sin P' on déduit sinMOP sinMOQ = sinM'OF siuM'Ot^;

On voit facilement, d’après cela, que les angles MOP, M'OO sont égaux. Ainsi, lorsqu’un plan sécant, mené par le centre, coupe le cône suivant deux arêtes, ces arêtes font des angles égaux avec les traces du plan sécant sur les plans cycliques. Quand le plan devient tangent, l’arête de contact fait des angles égaux avec les traces du plan tangent sur les plans cycliques.

524 — Il résulte de ce qui précède que tout cône du second degré peut être considéré, de deux manières différentes, comme un cône oblique à base circulaire. Lorsqu’on donne un cône circulaire oblique, il est facile de démontrer géométriquement

l’existence d’une seconde série de sections circulaires. Soit S le sommet d’un cône oblique ayant pour base le cercle AB (üg. 284); par la droite SO qui va du sommet au centre O de la base, menons un plan ASB perpendiculaire au plan de la base ; tout plan parallèle à la base coupant le cône suivant un cercle qui a pour diamètre la trace du plan sécant sur le plan ASB, il en résulte

DES HYPFJRBOLOIDES. 463

que ce plan ASB divise le cône en deux parties symétriques; c’est donc un plan principal et le système des deux droites SA et SB est la section principale correspondante. Dans le plan principal ASB menons la ligne B^ A' antiparallèle à AB, c’est-àdire telle que l’angle SA^B^ soit égal à SAB; puis, par la droite faisons passer un plan perpendiculaire au plan principal ASB; la section du cône par ce plan sera un cercle B' HA'. En. effet, par un point quelconque H de la courbe B' HA' menons un plan parallèle à la base; ce plan coupe le cône suivant un cercle, et le plan B' HA' suivant une ligne H1 perpendiculaire à la section principale. Dans le cercle DHE on a Hl* = DI x lE. D’autre part, les triangles semblables DIB', EIA' donnent DI X lE = B'I X IA'; donc Hî* = B'IxIA', et, par conséquent, le point H est un point du cercle décrit sur B' A' comme diamètre. Les sections parallèles à B' HA' sont dites antiparallèles à la base.

La bissectrice de l’angle ASB est l’axe intérieur du cône; la bissectrice de l’angle supplémentaire est un second axe ; une perpendiculaire menée par le sommet S au plan principal ASB est le troisième axe. On connaît ainsi les trois axes et les trois plans principaux du cône.

GÉNÉRATRICES RECTILIGNES DE l’hYPERBOLOÏDE A UNE NAPPE.

436— Nous avons vu {n“ 4iô), que, lorsqu’une droite a plus de deux points situés sur une surface du second ordre, elle est tout entièm située sur la surface. D’après cela, on comprend qu’il est impossible de placer sur un ellipsoïde une portion de droite, si petite qu’elle soit; car, si cette portion de droite avait seulement trois points communs avec la surface, la droite indéfinie seraitsituéetoutentière sur la surface, et il est évident qu’une droite iudéfinie ne peut ajipartenir à une surface limitée comme l’ellipsoéide. 11 est impossible aussi de placer une droite sur i’byperboküde à deux oafq>es; nous remarquons d’abord que cette droite oe peut être perpendiculaire à l’axe réel, puisque toutes les sections perpendiculaires à cette droite sont des ellipses; la droite irait doue d’une uappe à l’autre, et

il y aurait une portion intermédiaire qui n’appartiendrait pas à la surface. La même impossibilité n’existe pas pour l’hyperboloïde à une nappe. Nous avons déjà reconnu, en étudiant les sections planes (n” 52o), que, lorsque le plan sécant, mené par un point de la surface, est parallèle au plan diamétral conjugué du diamètre qui passe en ce point, la section se réduit à deux droites; il en résulte que, par tout point de la surface passent deux droites situées tout entières sur la surface. Nous allons étudier les propriétés des droites situées sur l’hyperboloïde à une nappe; niais nous reprendrons d’abord la démonstration du théorème fondamental.

&9S— Soit M un point quelconque de la surface; prenons pour axe des x le diamètre qui passe en ce point, et pour axes des y et des z deux diamètres conjugués de la section diamétrale correspondante ; l’équation de Thyperboloïde aura la forme

En coupant la surface par le plan x = a', on a deux droites

Ainsi, par tout point M de la surface passent detsx droites situées sur la surface.

Nous avons déjà fait observer (n° 480) que les tangentes à toutes les courbes tracées par un même point sur une surface du second degré sont situées dans le même plan; il n’y a d’exception que pour le cône et au sommet. Par un point M passent deux droites situées sur la surface; le plan de ces deux droites est le plan tangent. 11 est impossible de mener par le point M ime troisième droite située sur la surface; car cette droite serait aussi contenue dans le plan tangent x — a', et ce plan ne coupe la surface que suivant deux droites.

Nous ferons remarquer aussi que la surface est coupée par le plan tangent; une partie est située d’un côté de ce plan, l’autre partie de l’autre côté.

591'— Dans le même système de coordonnées, le cône

Digillzed by Googl

DES HYPERBOLOIDES. 465

asymptote a pour équation

si l’on coupe le cône par le plan a;= o, on a les deux arêtes

Ces deux arêtes sont respectivement parallèles aux deux droites déterminées par le plan x = af sur la surface de l’hyperboloïde. Ainsi, les droites situées sur l’hyperbolotde sont respectivement parallèles aux arêtes du cône asymptote.

Si l’on coupe la surface par le plan x=.— a', on a deux droites parallèles aux précédentes; ainsi les droites qui passent par deux points MetM', symétriques par rapport au centre, sont respectivement parallèles entre elles, et aux mêmes arêtes du cône asymptote.

5*8— Nous allons faire voir que les droites situées sur l’hyperboloïde peuvent être distinguées en deux séries, dont chacune constitue toute la surface. On opère commodément cette distinction, et l’on se rend bien compte de la position des droites, à l’aide de l’ellipse de gorge.

Puisque par tout point de la surface passent deux droites, il

est clair que, par tout point D de l’ellipse de gorge, passent deux droites DG, DH situées sur la surface (fig. 280).

Si, conservant pour axe des z l’axe imaginaire de la surface, on prend pour axe des x le diamètre OD de l’ellipse de gorge, et pour axe des y le diamètre conjugué OE, l’byperboloïde a pour équation

Le plan x = 0', mené par le point D parallèlement au plan ZOE, a pour trace sur le plan de l’ellipse de gorge la tangente ST à cette ellipse; ce plan coupi’ l’hyperboloïde suivant

FiR. Î85.

deux droites

qui KO projettent sur le plan de l’ellipse de gorge suivant la tangente ST. Ainsi, toute tangente à l'ellipse de gorge est la projection de deux droites situées sur l'hyperholoide.

Le cône asymptote a pour équation

il est coupé par le plan ic = o suivant deux droites OG„ OH,, qui ont pour équation

et qui sont respectivement parallèles aux deux droites DG, DH situées sur l’hyperboloïde. Les deux axes des coordonnées OE et OZ étant reclangulaii'es, il résulte de ce qui précède que les deux droites DG, DU font des angles égaux avec le plan de l'ellipse de gorge, ou avec la parallèle à Taxe OZ menée parle point D; si l’on appelle y ce dernier angle, on a

tangy = --

529— Imaginons maintenant que le point D parcoure l’ellipse de gorge dans le sens AB; toutes les droites, dont les parties supérieures au plan de l’ellipse de gorge font avec les tangentes prises dans le sens du mouvement des angles aigus, formeront un premier système; toutes celles dont les parties supérieures font avec cette même tangente des angles obtus, formeront un second système. Ainsi, la droite DG appartient au premier système, la droite DH au second. Il est clair que ces deux systèmes, tels (juc nous venons de les définir, comprennent toutes les droites situées sur la surface; nous remarquons d’abord qu’une droite quelconque située sur la surface n’est pas parallèle au plan de l’ellipse de gorge, puisque les sections parallèles à ce plan sont des ellipses; cette droite percera donc le plan en un point D de l’ellipse; or, par le point D, passent seulement deux droites DG, DH, appartenant, l’une

DES HYPERBOLOÎDES, Hfii

an premier système, l’autre au second; la droite considéi’éb' coïncidera donc avec l’une de ces deux droites.

Si, en même temps que le point D se meut sur l’ellipse,

l’angle y varie d’après la formule tangy = — » la droite DG

coïncidera successivement avec toutes les droites du premier système, la droite DH avec toutes celles du second système. 11 est visible que chacune d’elles engendre la surface entière de l’hyperboloïde. Ainsi l’hyperboloïde à une nappe est une surface réglée, qui peut être engendrée de deux manières par le mouvement d’une ligne droite. Voilà pourquoi les droites de chaque système ont été appelées les généralriçes rectilignes de l’hyperboloïde.

11 est bon de se rendre compte de la variation de l’angle y. Cet angle acquiert sa valeur minimum quand la drdte passe par l’une des extrémités B du grand axe de l’ellipse de gorger et sa valeur maximum, quand elle passe par l’une desextrémi** tés A du petit axe. Le point D allant de B en A, l’angle y croit de sa valeur minimum à sa valeur maximum ; cet angle décroît ensuite pour croître de nouveau, etc. Lorsque w=b, c’est-à-dire lorsque l’ellipse de gorge devient un cercle, l’angle y est cnnstant, et la surface est engendrée par chacune des deux droites DG, DH tournant autour de l’axe OZ et liée invariablement à cet axe; c’est l’hyperboloïde de révolution à une nappe < que nous avons déjà considéré comme exemple des surfaces de révolution (n“ 459).

&30 — Chacune des droites mobiles engendrant la surface entière, il est clair que les deux droites qui passent par un point quelconque de la surface appartiennent, l'une au premier système de génératrices, l’autre au second système. On le reconnaît d’ailleurs d’une manière très-nette en construisant ces deux droites à l’aide de l’ellipse de gorge. Soit M un point de la surface, que nous supposerons situé au-dessus du plan de l’ellipse de gorge (fig. 286J; ce point se projette sur ce plan en un point m extérieur à l’ellipse; par le point m menons des tangentes mD, mE à l’ellipse; par le point de contact D de la première tangente, menons la droite DG du premier système.

et par le point de contact E de la seconde tangente la droite EL

dusecondsystème. Les plans projetants GDm, LEm de ces deux droites se coupent suivant une droite MM' perpendiculaire au plan de l’ellipse de gorge; cette perpendiculaire élevée par le point m perce la surface en deux points ; l’un est le point M situé audessus du plan de l’ellipse, l’autre est : le point symétrique M' situé au-des-

i sous. La droite DG, faisant avec Dm

; un angle aigu, rencontre la partie su-

périeure mM de la droite MM', et elle : passe au point M, puisque cette partie

Fig. S8«. supérieure ne rencontre la surface

qn'en un point. De même la droite EL, faisant avec le prolongement de mE un angle obtus, ou avec Em un angle aigu, rencontre la partie supérieure mM de la même droite au même point M. Ainsi, par le point M passent les deux droites MD, ME, qui appartiennent, l’une au premier système,l’autre au second.

531 — Nous avons vu (n®528) que les génératrices rectilignes de la surface se projettent sur le plau de l’ellipse de gorge suivant des tangentes à cette ellipse. La même propriété a lieu par rapport à chacun des plans principaux.

Considérons le plan principal COA mené par l’axe imaginaire OC et l’un des axes OA de l’ellipse de gorge (fig. 287); on démontrera, comme précédemment, que la tangente MD, au point M à l’hyperbole principale est la projection de deux droites MD, MIV situées sur la surface. Quand le point M s’éloigne à l’infini sur l’hy- \ \ perbole, la tangente D,M. tend vers \ l’asymptote OH,; cette asymptote '> est la projection des deux droites Fig. 887. BH, B' H', qui passent par les extré-

DES HYPERBOLOIDES. 4«9

mités de l’autre axe de l’ellipse de gorge. L’autre asymptote OGi est la projection des droites BG, B' G', qui passent par ces mêmes points.

S3»— Les génératrices rectilignes de l’byperboloïde jouissent de quelques autres propriétés remarquables que nous allons démontrer. Soient DG, EL (fig. 288) deux génératrices de systèmes différents; ces droites se projettent sur le plan de

l’ellipse de gorge suivant des tangentes Dm, Em à cette ellipse; en général les deux tangentes se coupent en un point m et les deux plans projetants se coupentsuivant une droite MM' perpendiculaire au plan de l’ellipse. Comme nous l’avons expliqué plus haut, les deux droites DG, EL, appartenant à des systèmes différents, rencontrent la perpendiculaire MM' d’un même côté du plan de l’ellipse de gorge et par conséquent, se coupent au point M, où cette perpendiculaire perce la surface. Ainsi, en général, deux génératrices de systèmes différents se rencontrent.

Il peut arriver que les projections des deux droites soient parallèles; ceci a lieu quand les deux droites, telles que DG, D'H', passent par deux points D et D' diamétralement opposés de 1 ellipse de gorge. Dans ce cas, les deux plans projetants sont parallèles; un plan parallèle mené par le centre coupera le cône suivant deux arêtes 0G„ OH,; il est clair que les deux génératrices DG, D'H' sont parallèles à la même arête OG, du cône asymptote, et, par conséquent, sont parallèles entre elles. On conclut de là que deux génératrices de systèmes différents se rencontrent ou sont parallèles, c’est-à-dire sont toujours dans un même plan.

533 — Considérons maintenant deux génératrices DG, EK du même système. Les plans projetants de ces deux droites se coupent suivant la droite MM' perpendiculaire au plan de l’el-

lipse de gorge. La droite DG, faisant avec sa projection Dm un angle aigu, rencontre la droite MAP au-dessus du plan de l’ellipse de gorge ; la droite EK, faisant avec le prolongement de mE un angle aigu, rencontre cette même droite au-dessous du plan; le plan DMM' qui contient la première droite DG et un point M' de la seconde, ne contient pas cette seconde droite; ainsi les deux droites ne sont pas dans un même plan.

Il peut arriver que les projections soient parallèles; soient les deux droites DG, D'G' du même système, passant par deux points diamétralement opposés de l’ellipse de gorge; ces deux droites sont parallèles respectivement aux deux arêtes 0G„ OH, du cône asymptote; le plan GDIV, qui contient la première et un point D' de la seconde, ne contient pas cette seconde droite; ainsi les deux droites ne sont pas dans un même plan. On conclut de là que deux génératrices du même système ne sont jamais dans un même plan.

534 — Chaque arête OG, du cône asymptote est parallèle à deux génératrices DG, D'H' de systèmes différents; on les obtiendrait de cette manière : soit OFta trace sur le plan de l’ellipse de gorge du plan ZOG,; menons le diamètre DIV conjugué de OF; les tangentes en D et IV étant parallèles à OF, les plans tangents GDH, G'D'H' en ces points sont parallèles au plan ZOG, qui coupe le cône suivant deux arêtes 0G„ OH,; les deux génératrices DG, D'H', de systèmes différents, sont parallèles à OG,; les deux autres génératrices DH, IF G' sont parallèles à OH,. Il est impossible qu’unè troisième génératrice de l'hypcrboloïde soit parallèle à l’arête OG,; car si trois génératrices de l’hyperboloïde étaient parallèles à une même arête du cône, deux appartiendraient au même système et seraient parallèles entre elles, ce qui ne peut pas être.

Le diamètre OD étant conjugué du plan ZOF, ou G,OH„ on sait (n® 522) que le plan DOG, est tangent au cône suivant l’arête OG,. Ainsi le plan de deux génératrices parallèles DG, D'H' est tangent au cône asymptote.

Remarquons encore que trois génératrices du même système ne peuvent être parallèles à un même plan; car, en menant par le centre des parallèles à ces génératrices, on

DES HYPERBOLOIDES. 47 <

aurait trois arêtes diiTérentes du cône asymptote situées dans le même plan, ce qui est impossible.

535— Ce qui précède nous permet de distinguer les deux systèmes de génératrices par un autre procédé. Soit DH une droite quelconque située sur la surface, toutes les droites telles que DG, EK, . . . qui rencontrent cette droite fixe, avec une droite D'G' qui lui est parallèle, constituent l’un des systèmes, par exemple, le premier système. Toutes les autres constituent le second système.

536— Nous savons qu’il faut trois directrices pour définir le mouvement d’une ligne droite (n® 45o). Prenons comme directrices trois droites fixes A, B, G appartenant au second système, et supposons qu’une droite mobile glisse sur ces trois directrices; si, par un point quelconque M de la droite A et chacune des droites B et G, on fait passer un plan, l’intersection de ces deux plans déterminera la position de la droite mobile qui passe en ce point; la droite mobile, coïncidant ainsi successivement avec toutfft les droites du premier système, engendrera l’hyperboloïde à une nappe. De même, une droite mobile, glissant sur trois droites fixes, appartenant au premier système, engendrera l’hypcrboloïde. 11 résulte de là que l’on peut engendrer un hyperboloïde à une nappe, en faisant glisser une droite mobile sur trois droites fixes.

537 — Nous allons faire voir que, réciproquement, une droite mobile qui glisse sur trois droites fixes quelconques, non parallèles à uu même plan, engendre un hyperboloïde. Soient AB, CD, EF les trois directrices données. Si, par chacune d’elles, on fait passer un plan parallèle à l’une des deux autres, on a six plans qui forment un parallélipipède; prenons pour origine le centre du paralléli[>ipède et pour axes des coordonnées des parallèles aux arêtes, dont nous désignerons les longueurs par za, zb, zc. Les équations des trois directrices sont, pour la disposition adoptée dans la figure 289,