CÔNE

ft09— Si le terme constant H est nul, l’équation Sa:*-hS'ÿ’-4-S"z' = o,

DES HYPERBOLOIDES. U9

étant homogène par rapport à x, y, z, représente un cône (n®454)- Si l’on pose

l’équation prend la forme

' tang’a^ tang*fi

Le plan principal XOZ coupe la surface suivant deux droites OA, OA' faisant avec OZ un angle égal à a; le plan principal YOZ suivant deux droites OB, OB' faisant avec OZ un angle égal à ^ (flg. 277). Le plan principal XOY coupe la surface suivant un seul point O. Tout plan parallèle au plan XOY donne une ellipse ABA' ayant pour équation

lang*a ~^tang*^ ~ ’

cette ellipse qui a son centre I sur l’axe OZ, augmente indéflnimeut à mesure que le plan sécant s’éloigne du sommet. Ainsi on peut regarder le cône comme engendré par une droite OM, qui tourne autour du point O en glissant sur l’ellipse ABA'. En supposant S plus grand que S' et, par conséquent, a plus petit que p, on voit que l’angle que fait la génératrice OM avec l’axe OZ varie de a à p. Le cône est formé de deux nappes égales situées de part et d’autre du sommet. L’équation des cônes du second degré se ramenant à la forme (i), il en résulte que tout cône du second degré peut être considéré comme un cône droit à base elliptique.

Les plans perpendiculaires à chacun des deux autres axes, OX et OY coupent le cône suivant des hyperboles ayant leurs centres sur ces axes. Les trois axes des coordonnées sont des axes du cône; l’un OZ est situé à l’intérieur du cône, les deux autres à l’extérieur. Par rapport à chacun de ceux-ci, un point quelconque du cône a son symétrique sur l’autre nappe; par rapport au premier, un point a son symétrique sur la même nappe.

Lorsqu’on a S = S', ou a = fi, le cône est de révoluticm autour de la droite OZ.

RYPERBOLOÏDE A UNE NAPPE.

510 — Supimsons que le terme constant H ait une valeur positive et posons

l’équation de la surlace prendra la forme

Le plan principal XOY côupe la surface suivant une ellipse ABA'

<6g. 2^8); le plan principal XOZ suivant une hyperbole dont A' A est l’axe transverse et OZ l’axe imaginaire; le plan principal YOZ coupe de même la surface suivant une hyperbole dont BB' est l’axe transverse et OZ l’axe imaginaire. Si l’on coupe la surface par des plans parallèles au plan XOY^ on a des ellipses homothétiques

Fig. sr*. qui ont leurs centres sur OZ, et qui

vont en augmentant indéfiniment à mesure que le plan técanl s’éloigne du plan principal d’un côté ou de l’autre; l’ellipse minimum ABA' déterminée par le plan principal s’appelle • tUipse de gorge. On voit par là que la surface est formée d’une seule nappe continue qui s’étend indéfiniment en s’onvranlde plus en pins de chaque côté du plan de l’ellipse de gorge. On a donné à cette surface le nom d'hyperbolotde à une nappe.

Les plans parallèles au plan XOZ coupent la surface suivant des hyperboles homothétiques ayant leurs centres sur OY ; de même les plans parallèles au plan YOZ coupent la surface s«ivant des hyperboles homothétiques ayant leurs centres surOX.

DES HYPERBOLOIDES. m

U résulte de là que Thyperboloïde à une nappe admet trois axes, deux réels AA' et OB', un imaginaire OZ. Les deux axes réels sont les axes de l’ellipse de gorge; l’axe imaginaire OZ est situé à l'intérieur de la surface.

Lorsque les deux axes réels deviennent égaux, les sections parallèles au plan XÜY étant des cercles, la surface est de révolution; elle est engendrée par une hyperbole tournant autour de son axe imaginaire OZ.

HYPERBOLOIDE A DEl’X RAPPES.

— Examinons enfin le cas où le terme constant H a une valeur négative; si l’on pose

l’équation prend la forme

Les deux plans principaux XOZ, YOZ coupent la surface suivant des hyperboles dont l’axe transverse CC' a une longueur égale à 2C et est dirigé suivant l’axe OZ (fig. 279). Le plan principal XÜY ne rencontre pas la surface.

La section faite par un plan parallèle au plan XOY est une ellipse

fl

mais cette ellipse n’est réelle que si la valeur absolue de z est plus grande que c; si donc par chacun des points G et G' on mène un plan parallèle au plan XO\ , il n’y aura aucun point du lieu situé entre ces deux plans. Si le plan sécant Fig. 279. s’éloigne à partir du point G, l’ellipse,

qui est d’abord réduite à un point, augmente indéfiniment; et de même de l'autre côté, à partir du point C'.' On voit par la

que la surface se compose de deux nappes infinies et séparées l’une de l’autre; on lui a donné le nom d’hyperboloîde à deux nappes. La surface a trois axes, un réel GC', deux imaginaires OX et OY.

Quand les deux axes imaginaires 2 a et 26 deviennent égaux, la surface est de révolution; elle est engendrée par une hyperbole tournant autour de son axe transverse CC'.