CHAPITRE V

Des parabololdes.

Les surfaces du second degré dépourvues de centre sont représentées par l’équation

(i) S‘y*+S"z*-hPx = o.

Cette seconde classe se subdivise en deux genres, suivant que les coefficients S', S" ont le même signe ou des signes contraires.

PARABOLOÏOE ELLIPTIQUE.

54* — Considérons le cas où les deux racines S' et S" ont le même signe, par exemple le signe On peut supposer P

DES PARABOLOIDES.

négatif, et si l’on pose

ap=— ag=—

l’équation devient

La surface passe à l’origine; les sections faites par les plans

principaux YOX, ZOX sont deux paraboles P et Q, qui ont pour axe commun la droite OX (flg. 290).

Coupons la surface par des plans perpendiculaires à la droite OX. Pour x = o, la section se réduit au point O; en attribuant à x des valeurs positives de plus en plus grandes, on obtient des ellipses homothétiques qui ont leur centre sur la droite OX et qui augmentent indéfiniment. Les plans situés à gauche du plan YOZ ne coupent pas la surface. Ainsi, la surface se compose d’une nappe indéfinie située tout entière à droite du plan YOZ; on lui a donné le nom de paraboloïde elliptique. La droite OX est un axe de la surface; le point O en est le sommet, Les sections par des plans parallèles au plan principal XOY sont des paraboles égales à la parabole P, ayant leurs sommets sur la parabole Q et leurs axes parallèles à OX. Il en résulte que l’on peut regarder la surface comme engendrée par la parabole P qui se meut parallèlement à elle-même, son sommet décrivant la parabole Q. De même, les sections par des plans parallèles au plan principal XOZ sont des paraboles égales à la parabole Q, et l’on peut regarder la surface comme engendrée par la parabole Q se mouvant parallèlement à ellemême, son sommet décrivant la parabole P.

&4I3 — Les sections de la surface des plans AÆ-t-By-hCz = /,

non parallèles à l’axe sont des ellipses, dont les projections sur

le plan YOZ ont pour équations

y» , Z* 2{l — By — Cz) p~^ q A

On voit que ces projections sont des ellipses homothétiques entre elles, quelle que soit la direction du plan sécant.

Lorsque le plan sécant By -hCz — l est parallèle à Taxe du paraboloïde, la section, dont la projection sur le plan XOY a pour équation

(i-'Ryy

est une parabole dont l’axe est parallèle à l’axe du paraboloïde. Le paramètre de cette parabole étant indépendant de l, il en résulte que des plans parallèles entre eux et parallèles à Taxe coupent la surface suivant des paraboles égales.

544 — Considérons en particulier le cas où p = q; l’équation de la surface devient y*-l-s*= 2px; les sections par les plans perpendiculaires à l’axe OX sont des cercles; ainsi, la surface est de révolution ; elle est engendrée par la parabole P tournant autour de son axe OX. Les sections par des plans non parallèles à l’axe sont des eUipses qui se projettent sur le plan YOZ suivant des cercles. Les sections par des plans parallèles à l’axe sont des paraboles égales.