GÉNÉRATRICES RECTILIGNES DU PARABOLOÏDB HYPERBOLIQUE

Il est impossible de placer une droite sur le paraboloïde elliptique; car, si par cette droite on mène un plan, ce plan coupera la surface suivant une ellipse ou une parabole. Mais la même impossibilité n’existe pas pour le paraboloïde hyperbolique. Nous avons vu que tout plan parallèle à l’un des deux plans AOX, BOX coupe la surface suivant une droite. Par un point quelconque .M de la surface, menons un plan parallèle au plan AOX; ce plan coupera la surface suivant une droite passant par le point M; un plan parallèle au plan BOX donnera une seconde droite passant aussi parle point M. Ainsi, par loul point du paraboloïde hyperbolique passent deux droites situées sur la surface.

Le plan de ces deux droites est le plan tangent au point M. Il est impossible de mener par le point M une troisième droite située sur la surface; car elle serait aussi contenue dans le plan tangent, et ce plan ne coupe la surface que suivant deux droites. Les droites situées sur la surface du paraboloïde hyperbolique peuvent être distinguées en deux séries, dont chacune constitue toute la surface. La première série se compose des droites parallèles au plan AOX, la seconde série des droites parallèles au plan BOX; ces deux plans ont reçu le nom de plans directeurs.

11 résulte de là que les projections sur le plan YOZ des droites d’un même système sont parallèles; car les plans projetants des droites du premier système sont parallèles au plan directeur AOX, et, par conséquent, leurs projections sont parallèles à la droite OA. De même, les projections] des droites du second système sont parallèles à OB.

DES PARABOLOIDES.

Projetons maintenant les droites sur l’un des plans principaux, par exemple sur le plan XOY. Nous remarquons d’abord qu’une droite ne peut être parallèle à ce plan; car la section faite par un plan parallèle au plan XOY est une parabole égale à la parabole P. La droite perce le plan principal en un point de la parabole P; mais la surface se projette sur ce plan en dehors de la parabole, la projection de la droite passant par un point de la parabole et étant située en dehors, est tangente à celte courbe. Ainsi, les projections des génératrices rectUi~ gnes sur les plans principaux sont tangentes aux sections principales.

Deux génératrices du même système étant situées dans deux plans parallèles au même plan directeur, et, par conséquent, parallèles entre eux, ne peuxent se rencontrer. Elles ne sont pas non plus parallèles; car leurs projections sur le plan principal XOY, étant tangentes à la parabole P, ne sont pas parallèles. Ainsi, deux droites du même système ne sont jamais dans un même plan.

Considérons maintenant deux génératrices de systèmes différents; leurs projections sur le plan YOZ étant respectivement parallèles aux droites OA et OB se rencontrent; si par le point d’intersection des projections, on mène une parallèle à l’axe OX, cette parallèle ne perce la surface qu’en un point, et, par conséquent, rencontre les deux droites données au même point. On en conclut que deux génératrices de systèmes différents se rencontrent toujours.

&S3— Puisque par tout point de la surface passent deux

droites, il est clair que par tout point D de la parabole principale P (Bg. 293) passent deux droites DG, DH situées sur la surface. Si l’on prend pour axes des coordonnées le diamètre DX', la tangente DS à la parabole principale, et la perpendiculaire DZ' au plan principal.

Fig. -m. et si l’on désigne par 6 l’angle

m LIVRE VI, CHAPITRE V.

SDX', la surface aura pour équation (n° 212) y»sin*e P 9

Le plan Z^DS a pour trace, sur le plan principal, la tangente &T à la parabole principale; ce plan coupe la surface

suivant les deux droites DG, DH représentées par Péqaation

et qui se projettent sur le plan principal suivant la tangente ST. Les deux droites DG, DH font des angles égaux avec le plan principal ou avec la perpendiculaire DZ^ à ce plan; si ron appelle y ce dernier angle, on a

langY=v/|xj^5-

Quand la point D, partant du sommet O, parcourt la parabole principale P, l’angle y que font les deux droites DG et DH avec la verticale DZ' augmente de plus en plus, et tend vers un angle droit.

Les deux droites DH, DG percent le plan principal XOZ aux points H et K appartenant à la parabole principale Q, et situés sur une perpendiculaire à Taxe OX, au point où il est rencontré par la tangente DS; les projections HD, KD de ces deux droites sur le plan principal XOZ sont tangentes à la parabole û, et passent par le point D, projection du point D. Le point D se projette en D" sur le plan YOZ; les points H et K se projettent en H" et K"; en joignant D'H", D"K", on aura les projections D"H", D"G* des deux droites DH, DG sur le plan YOZ. Les points D et H appartenant aux paraboles principales, on a DD* = 2pxOD, HT*=2qxOT; les deux longueurs OD et OT étant égales entre elles, il en résulte

OD'DD /p

0H"“ HT “ Vq‘

On reconnaît ainsi de nouveau que la projection D"H" de la droite DH sur le plan YOZ conserve une direction constante;

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de même, la projection K"D"G" de la droite DG, conserve une direction constante.

Si le point D parcourt la parabole principale P dans un sens détermine OD, tes droites, dont les parties supérieures au plan principal XOY font avec les tangentes prises dans le sens du mouvement des angles aigus, percent l’autre plan principal XOZ au-dessous du premier, leurs projections sur le plan YOZ sont parallèles à OA et ces droites forment le premier système de génératrices. Les droites, dont les parties supérieures font avec les tangentes des angles obtus, ont leurs luojections parallèles à OB et forment le second système.

Les deux droites DD", HH" étant égales et parallèles, la figure DD"HH" est un parallélogramme, et, par conséquent, les diagonales DH, D"H" se coupent mutuellementcn deux parties égales; ainsi le point I, où la génératrice DH perce le plan YOZ, est le milieu de la portion DH de cette droite compri.se entre les deux plans principaux; le lieu du point I est la droite OA du premier système.

554 — Nous savons qu’il faut trois directrices pour définir le mouvement d’une droite. Prenons comme directrices trois droites fixes A, B, C appartenant à l’un des .systèmes, par exemple au second ; ces droites seront parallèles au second plan directeur, une droite mobile glissant sur ces trois directrices coïncidera successivement avec chacune des droites du premier système, et, |>ar conséquent, engendrera le paraboloïdc hyperbolique.

On peut aussi définir le mouvement d’une droite en l’assujettissant à glisser sur deux droites fixes et à rester parallèle à un plan fixe. Si l’on prend pour directrices deux droites A et B du second système, et pour plan fixe le premier plan directeur il est évident que la droite mobile coïncidera successivement avec chacune des droites du premier système. Il résulte de là que le paraboloïde hypm bolique peut être engendré par une droite mobile qui glisse sur trois droites fixes parallèles à un même plan, ou bien par une droite mobile qui glisse sur deux droites fixes en restant constamment parallèle à un meme plan.

— Les réciproques sont vraies. Considérons d’abord une droite mobile assujettie à glisser sur deux droites fixes OZ et ÂB (Qg. 294), en restant parallèle à un même plan.

Prenons pour axe des y une position particulière OA de la génératrice, pour axe des z la directrice OZ, pour plan des xy un plan parallèle au plan direc- Fig. 994. et pom- pi3n des zx un plan pa-

rallèle à la droite AB. Cette seconde directrice AB aura pour équations y~b, x = az. Soit MN une position quelconque de la génératrice; cette droite, étant parallèle au plan XOY et rencontrant l’axe OZ, a des équations de la forme

(7) z=p, y = mx,

avec deux paramètres variables m et p. Pour qu’elle rencontre la seconde directrice AB, il faut que l’équation de condition

(8) amp = b

soit vérifiée. Si l’on élimine les deux paramètres m et p entre les équations (7) et (8), on obtient l’équation du lieu

(9) ayz — bx = o.

La surface est du second degré; elle est dépourvue de centre; ce n’est pas un cylindre parabolique, puisque les droites OZet AB, non parallèles, sont situées sur la surface; c’est donc un paraboloïde hyperbolique.

556 — Considérons maintenant une droite assujettie à glisser sur trois droites fixes OZ, AB, A'B' (fig. 295) parallèles à un même plan. Prenons pour axe des z la ^directrice OZ, pour axe des y une position particulière de la génératrice, pour plan des zx un plan parallèle aux trois directrices et dans ce plan une droite quelconque menée par le point 0 pour axe des X. Les deux directrices AB, A'B' sont représentées par les équations

y=f>, z = ax,

VB'

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Une droite MM^ qui rencontre ces deux droites peut être regardée comme l'intersection de deux plans menés, l’un par la droite AB, l’autre par la droite A' B'; ces deux plans ont des équations de la forme

' ' \ * — o'a!-HV(y — 6') = o,

dans lesquelles >. et V désignent des paramètres arbitraires. La droite MM' devant rencontrer la Fig. S95. droite OZ, on a, entre les deux

paramètres la relation

(II) b\ = b>V.

On obtient l’équation de la surface engendrée par la droite MM' en éliminant les deux paramètres 1 et V entre les trois équations (lo) et (il), ce qui donne l’équation

(12) b[y — b'){z — ax) — b' (y — b) {z — a'x) =0.

La surface est du second degré; on reconnaît aisément qu’elle est dépourvue de centre; d’ailleurs elle contient des droites non parallèles; c’est donc un paraboloïde hyperbolique.

Nous avons trouvé (n** 538) la relation qui existe, dans l’hyperboloïde à une nappe, entre les deux longueurs décrites sur deux droites fixes AB, CD de l’on des systèmes par une droite D mobile de l’autre système. La relation est . beaucoup plus simple dans le paraboloïde hyperbolique. Soient MN, M'N', M"N" (flg. 296) trois positions quelconques de la droite mobile; si par chacune d’elles on mène un plan parallèle au plan directeur, on aura trois plans parallèles entre eux; or, on sait Fig. S96. que trois plans parallèles déterminent sur deux droites AB, CD des segments proportionnels; on a donc la relation