PREMIÈRE MÉTHODE

501 — On appliquera à l’équation proposée la méthode de réduction exposée au chapitre II; non-seulement on obtiendra par ce procédé la nature de la surface, mais encore on déterminera d’une manière précise sa situation et ses paramètres. Lorsqu’on veut reconnaître seulement la nature de la surface, il n’est pas nécessaire d’effectuer tous les calculs indiqués. On commence par former l’équation du troisième degré qui donne S; il y a ensuite plusieurs cas à distinguer.

1° Quand l’équation du troisième degré n’a pas de racine nulle, on sait que la surface a un centre unique, et que son équation peut être ramenée à la forme (n" 496)

Sx* 4- S'y’-t- S" =*-+- F, = O.

Pour déterminer la nature de la surface, il sufQt de calculer Fj et d’examiner les signes des racines S, S^, S", signes qui sont donnés immédiatement par le théorème de Descartes. Si Téquation avait deux racines égales, la surface serait de révolution.

2° Quand l’équation du troisième degré a une seule racine nulle, l’équation peut être réduite à Tune des deux formes

S'y*4-S"2*-t-Paü=o,

La première représente des surfaces dépourvues de centre, et la seconde des surfaces ayant pour centres tous les points d’une droite. Pour connaître la forme qui convient à l’exemple donné, on aura recours aux équations qui déterminent le centre. Lorsque ces équations sont incompatibles, le lieu est un paraholoîde, elliptique si S' et S" ont le même signe, hyperbolique si S' et S" ont des signes contraires. Lorsque le lieu admet une infinité de centres, ce lieu est un cylindre, dont on détermine la nature par une section non parallèle à Taxe. Si les deux racines S' et S” étaient égales, la surface serait de révolution.

3" Lorsque Téqualion du troisième degré a deux racines nulles, l’équation peut être réduite à Tune des formes (n* 5oo)

S"2*4-Pa!=o,

La première représente une surface dépourvue de centre, et la seconde une surface qui admet pour centres tous les points d’un plan. On aura encore recours aux équations qui déterminent le centre. Si ces équations sont incompatibles, le lieu est un cylindre parabolique. Si elles se réduisent à une seule, le lieu est l’ensemble de deux plans parallèles, un plan unique, ou l’équation n’a pas de solutions réelles; une section non parallèle au plan des centres déterminera la nature du lieu.

49t LIVRE VI, CHAPITRE VI.

569 — La discussion est résumée dans le tableau suivant.