DES PA1\AB0LÜ1DES

d’être situés dans un même plan et formeront un paraboloide hyperbolique; c’est pourquoi on a donné aussi à cette surface le nom de plan gauche.

S&O— Il est facile de déduire de l’équation du paraboloide hyperbolique

les équations des deux systèmes de génératrices. En effet, on peut mettre l’équation (5) sous la forme

{Tp'^à)i7p~tq

Les deux équations du premier degré

yjp Vg ' Vp Vg ^ ’

dans lesquelles le paramètre > est arbitraire, représentent un système de droites situées sur la surface; car, en multipliant ces deux équations membre à membre, on retrouve l’équation (5). Les deux équations

/ V y . 2 y Z IX

W"'*’ Vp •h~ p'

dans lesquelles le paramètre p. est arbitraire, représentent un second système de droites situées sur la surface. II est clair que par tout point de la surface passent deux droites, une de chaque système. D’ailleurs, la première des équations montre que toutes les droites du premier système sont parallèles au plan

~ — ^=o; et de même la première des équations (u) mon-

vp vg

tre que foules les droites du second système sont parallèles au

plan -7= -t- -p = O. Ainsi, les systèmes d’équations Çk) et (p.)

VP vg

représentent bien les deux systèmes de génératrices rectilignes du paraboloide hyperbolique, tels que nous les avons déûnis géométriquement (n'552).

560— Nous ferons remarquer que, lorsqu’un paraboloide

m LIVRE VI, CHAPITRE VI.

hyperbolique est rapporté à ses deux plans principaux et au plan tangent au sommet, si l’on égale à zéro l’ensemble des termes du second degré dans Téquation de la surface, on

obtient une équation^ = o, qui représente les deux

plans directeurs. La même chose a lieu quand la surface est rapportée à des axes de coordonnées quelconques; car, si l’on change d’abord la direction des axes en conservant la même origine, la partie du second degré dans la première équation donne la partie du second degré dans la nouvelle équation. Si l’on déplace ensuite l’origine en conservant la direction des axes, les termes du second degré ne changent pas; si donc on égale à zéro l’ensemble de ces termes, on dbtient des plans respectivement parallèles aux deux précédents.