CLASSE

L’équation du troisième degré a une ou deux racines nulles.

I Une seule raf eine nulle et pas de centre.

Genre paraboloïde.

Igné.

Lesdeuxantres racines de même signe.

Paraboloïde elliptique.

Une seule racine nulle et une I infinité de centres' \ en ligne droite.

De signes con- i Paraboloïde by- \traires. I perbolique.

Lesdeuxautres(^.

racines de même ‘’one droite.

( Rien.

I Cjlindrebypern- 1

Surfaces n'ayant pas de centre, ou | une infinité de | centres.

Deux racines nulles et pas de centre.

De signes con-|bolique.

traires. Deux plans qui

se coupent.

Cylindre parabolique.

Deux racines/ nulles et une in-( l finité de centres!

'dans un plan. f

Deux plans parallèles.

Un plan.

Rien.

Rbmarqi'k. — La réduction expliquée au chapitre H suppose les axes primitifs rectangulaires. Or, il est évident que si Ton construit, avec deux systèmes d'axes différents, les lieux représentés par une même équation du second degré, ces lieux seront toujours de même espèce; cependant l’une des surfaces pourra être de révolution sans qu’il en soit de même de la seconde. Les conclusions précédentes s’appliquent donc à un système d'axes quelconques.

Digillzed by GoogI

Exempls. Quelles sont les surfaces représentées par l’équation

a (æ* + 2ÿc) + b (y’-)- 2aa;) -+-c (s’-l- 2ay) = 1;

dans laquelle a, l>, c désignent des paramètres arbitraires?

Quelles que soient les valeurs attribuées aux paramètres, l'origine est un centre de la surface : ainsi l'équation ne comprend que des surfaces à centre. L’équation du troisième degré en 5 est

(S — o) (S — 6) (S— c)— a*(S — o) — 6’{S — 6) — c’(S — c) — 2a6e= 0, ou

S’ — (a + 6 + c) S*— (a^-1- b*-+-c’— be~ca—ab) S a*+ b*-(-c*— 3afcc= 0.'

Si, pour abréger, on désigne par m et n les deux sommes a + b + c et 6c-f-ca + a6, on a identiquement

a* 6* 4- c*— bc — ca — ab = m*— 3n,

o* 4- &*-(- e*-*-3abe«= m*— 3mH =s « (m’— 3n), et l’équation eu S prend la forme

La quantité a»*— 3» ou o*4-b‘4-c* — 6e — co — ob étant égale à

ne devient iamais négative; elle ne se réduit è zéro que lorsqu'on a a^b=s(. Dans ce cas, l'équation proposée se réduit à la forme ,

elle représente deux plans parallèles, réels ou imaginaires, suivant que le coefBcient a est positif ou négatif.

Suppotoas nakiteuant que les trots coefScients a, b, e ne soient pas égaux entre eux, et représentons par k* la quantité positive m*— 3«; les trois racines de l’équation en S sont m et ±:k, et l'équation proposée peut être ramenée è la forme

mx’ 4- fcÿ* — kz'=i

par une transformation de coordonnées. La surface est un iiyperboloïde è une ou à deux nappes, suivant que le coefBcient m est positif ou négatif. Lorsque ce coeilicient est nul, l’équation représente un cylindre dont la section droite est une hyperbole équilatère.

L’hyperboloîde sera de révolution, si l’on a m — ±.k, ou c’est-

à-dire n = 0 ou 6c 4- ca 4- o6 13 0. Alors la direction de l’axe est déterminée par les formules (n* 600)

o« = 6p = CY,

m LIVRE M, CHAPITRE VI.

si les trois nombres a, b, e sont différents de zéro, et par les formules

si les deux coefficients b et e sont nuis. Dans ce cas l'axe de révolution est la bissectrice de l’angle VOZ.