CHAPITRE VII

Théoa^meit généraux sur le* «nrfacés du second degré.

4HO— L'équation générale du second degré

( I ) A X* 4- A' y’ 4- A" Z* 4- 3.B yz 4- 2 B' zx 4- 2 B^' xy 4- 2Cx 4- 2C'y 4- 2C"z 4- F = O, entre les trois variables x, y, z, renferme dix termes, et la surface définie par cette équation dépend de neuf paramètres arbitraires, les rapports de neuf coefficients au dixième. II faut donc neuf conditions gcdmétriques pour définir une surface du second degré, en supposant que chaque condition géométrique s’exprime par une relation unique entre les coefficients. Ainsi, par exemple, une surface du second degré est déterminée par neuf points.

— Pour exprimer qu’un plan Ax4-By4-Cz4-D = o est tangent à une surface F (x, y, z) = o, on observe que les coordonnées (x, y, z) du point de contact doivent vérifier à la

fois l’équation de la surface et celle du plan; en outre, ce plan deTant coïncider avec le plan tangent qui a pour équation

on devra avoir les relations

Fi F/F;

L’élimination de x, y, z entre ces quatre équations donne une relation entre les coefficients variables renfermés dans l'équation de la surface. Puisque le contact d’un plan et d’une surface quelconque s’exprime par une seule équation, il faut également neuf plans tangents pour déterminer une surface du second degré.

On peut faire le calcul d’une autre manière, quand la surface est du second degré; car la ligne d’intersection d’une surface du second degré et d’un plan tangent se compose de deux droites, ou se réduit à un point, c’est-à-dire à deux droites imaginaires conjuguées. Pour exprimer qu’un plan est tangent à la surface, il suffira donc d’écrire la condition pour que la ligne d’intersection se réduise à deux droites.

On voit facilement qu’un plan tangent avec le point de contact équivaut à trois conditions.

Pour exprimer qu’une surface du second degré est un cône,' on écrira que les coordonnées du centre vérifient l’équation de la surface, ou que le nouveau terme constant, quand on transporte l’origine au centre, est nul, ce qui donne une relation entre les coefficients. On exprimera que la surface est un paraboloïde en égalant à zéro le dénominateur commun ou le déterminant des coordonnées du centre. Ainsi huit points suffisent pour déterminer un cône du second degré ou un paraboloïde. On exprimera que la surface est un cylindre en égalant à zéro le dénominateur des coordonnées du centre et l’un des numérateurs, ce qui fait deux conditions: ainsi sept points suffisent pour déterminer un cylindre du second degré.

On arrive aux mêmes résultats par la décomposition en carrés. Pour que la surface soit un cône, il faut qu'après avoir formé les trois carrés variables, on obtienne une partie cons-

tante nulle. Pour que la surface soit un paraboloïde, il faut qu'après avoir formé les deux premiers carrés, la partie restante soit une fonction du premier degré à une seule variable; on égalera donc à zéro le coefficient du terme du second degré. Pour que la surface soit un cylindre, il faut que celle partie restante soit une constante, on égalera donc à zéro les coefficients des termes du premier et du second degré. Pour que la surface soit un cylindre parabolique, il faut qu'après avoir formé le premier carré, la partie restante soit une fonction du premier degré à deux variables ; on égalera donc à zéro les coefficients des trois termes du second degré.

— Pour qu’une droite soit située entièrement sur la surface, il faut que l’équation que l’on obtient par l’élimination de a; et ÿ entre les équations de la droite et celle de la surface soit vérifiée quelle que soit z. Si l’équation de la surface est algébrique et du degré m, lu condition précédente donne m-f-i relations entre les paramètres variables de la surface. On arrive à la même conclusion, d’une autre manièi-e, en observant que, pour que la droite appartienne à la surface, il faut et il suffit que les coordonnées de mH- 1 de ses points vérifient l’équation de cette surface. En particulier, si la surface est du second degré, une droite équivaut à trois points, et trois droites déterminent la surface. Si, parmi les points donnés, quatre ou un plus grand nombre sont sur une même droite, ces points ne devront être comptés que pour trois.

Trois droites quelconques définissent un hyperboloïde à une nappe. Deux droites quelconques et deux points définissent un paraboloïde hyperbolique. Cinq droites passant par un même point définissent un cône du second degré; car les points où ces cinq droites percent un plan déterminent une courbe du second degré qui, avec le sommet, définit le cône.

THÉORÈME I

s 7 2 — Par neuf points donnés on peut toujours faire passer au moins une surface du second degré.

Nous avons dit que neuf points déterminent une surface du second degré; il reste, toutefois, à examiner si le système des

neuf équations du premier degré entre les coefficients admet toujours une solution. Si Ton appelle ad , ÿ, z' les coordonnées du premier point, ad', y", z" celles du second, etc., on aura, pour déterminer les rapports de neuf des coefficients au dixième, des équations de la forme

I Kx”* h' y"* =o,

Pour former le déterminant, on prend un terme dans chaque ligne horizontale et un terme dans chaque colonne verticale, de toutes les manières possibles ; deux termes du déterminant ne peuvent être composés exactement de la même façon, et, par conséquent, le déterminant n’est jms identiquement nul; il y a donc en général une solution et une seule.

Supposons maintenant que, pour une position particulière des points donnés, le déterminant soit nul; ce déterminant est une fonction du second degré des coordonnées de chacun des points; si l’on y remplace x', y', z' par les variables x, y, z, on obtient une fonction du second degré f(x, y, z}. Considérons la surface du second degré représentée par l’équation f{x, y, z)= o; cette surface passe par le premier point; car, si l’on remplace X, y, z par ad, y', z' on retrouve le déterminant qui est nul. Elle passe aussi par le second point; car remplacer x, y, z par y", z" dans l’équation, revient à remplacer dans le déterminant ad, y', z' par od' , y", d', et on saitqu’alors le déterminant devient identiquement nul. La surface passe de même par chacun des autres points, et l’on a ainsi une surface du second degré passant par les neuf points donnés.

Nous avons ordonné le déterminant par rapport à ad , y', z'-, le raisonnement serait en défaut, si tous les coefficients étaient nuis; mais alors on ordonnerait par rapport à x", y”, z", ou par rapport à ad", y'", z'", etc.; le raisonnement ne serait en défaut que si tous les coefficients de ces divers polynômes étaient nuis à la fois. Supposons que ceci ait lieu, et considérons le coefficient de l’un des termes dans le premier polynôme;

su LIVRE VI, CHAPITRE VII.

ce coefficient contient les coordonnées x", y", s", x'"’, y'",*"', etc.; si Ton y remplace x", y", z" par les variables x, y, z, on obtient une fonction du second degré (x, y, 5). Le coefficient analogue dans le second polynôme contient les coordonnées x', y', z', xf", y"', z'", ... ; si l'on y remplace x/, y', z' , par x, y, z on reproduit la même fonction (x, y, z). Il est évident que la surface définie par Téqualion /■, (x, y, z) = o passe par les deux premiers points; on verra, comme précédemment, qu’elle passe aussi par chacun des suivants. La même difficulté se reproduirait si, tous les coefficients des [lolynômes précédents étant ordonnées par rapport aux coordonnées de l’un quelconque des points qu’ils renferment, tous les coefficients partiels étaient nuis à la fois; mais en continuaat le raisonnement de la môme manière, comme le nombre des points dont les coordonnées entrent dans chaque coefficient va en diminuant, on arriverait à des coefficients ne renfermant plus (jue les coordonnées d’une seule lettre; les coefficients de tous ces derniers polynômes étant numériques ne peuvent être nuis a la fois; car alors le déterminant serait identiquement nul. On conclut de là que par neuf points pris arbitrairement on peut toujours faire passer au moins une surface du second degré.

THÉORÈME II

573 — Par la ligne d’inlerseclion de deux surfaces du second degré, et un point, on peut faire passer une surface du second degré et une seule.

Soient S = o, S, = o les équations de deux surfaces du second degré; l’équation S — AS, = o, dans laquelle A est un paramètre arbitraire, représente une surface du second degré passant par les points communs aux deux premières; or, on peut déterminer le paramètre A de manière que cette surface passe par un point M pris à volonté dans l’espace. Ainsi, par la ligne d’intersection de? deux surfaces données et le point .M, on peut toujours faire passer une surface du second degré.

D’ailleurs, il est facile de démontrer qu'on n’en peut faire passer qu’une. En effet, un plan quelconque passant par le

point M coupe les deux surfaces S et S, suivant deux coniques; ces deux coniques, situées dans un même plan, ont quatre points communs; ces quatre points et le point M déterminent une conique qui doit appartenir à la surface cherchée; puisque chacun des plans menés par le point M coupe les surfaces cherchées suivant une même conique, il ne peut y avoir deux surfaces différentes remplissant les conditions énoncées.

Il résulte de là que l’on peut regarder l’équation

(i) S — iS, = o

comme l’équation générale des surfaces du second degré qui passent par la ligne d’intersection des deux surfaces S=o, S,=o.

574 — Corollaire I. Considérons les deux coniques suivant lesquelles une surface du second degré S = o est coupée par deux plans a = o et P = o; l’équation = o définissant une surface du second degré, l’équation

. (2) S — Aa]3 = o

représente toutes les surfaces du second degré qui passent par ces deux coniques.

De même l’équation

(3) ap — k'{^ = o

représente toutes les surfaces du second degré qui passent par les quatre droites d’intersection des deux systèmes de plans ap = O et = O. Ces quatre droites forment un quadrilatère

gauche.

57 5 — Corollaire II. Lorsque deux coniques situées dans des plans différents ont deux points communs, on peut par ces deux coniques faire passer une infinité de surfaces du second degré.

Si l’on prend sur chacune des deux coniques trois autres points, on a en tout huit points par lesquels ont peut faire passer une infinité de surfaces du second degré. Considérons l’une de ces surfaces; les plans des deux coniques coupent celte surface suivant deux coniques ayant chacune cinq points communs avec l’une des coniques données, et, par conséquent, coïncidant avec celles-ci. Il résulte d’ailleurs, de ce qui précède, qu’un point extérieur suffit pour déterminer la surface.

TBÉORÈHB III.

Ü7 9 — Lorsque deux surfaces du second [degré ont cinq points communs situés dans un même plan, la ligne d'intersection des deux surfaces se compose de deux courbes planes.

Supposons que les deux surfaces S et S, aient cinq points communs situés dans un même plan P; ces cinq points déterminent une conique C, qui appartient aux deux surfaces. Prenons trois autres points communs non situés dans le plan P. le plan F qui passe par ces trois points coupe la conique C en deux points qui, avec les trois précédents, déterminent une conique C' appartenant aussi aux deux surfaces. Les deux surfaces ne peuvent avoir un point commun non situé sur les coniques C et C', sans quoi elles coïncideraient, en vertu du corollaire précédent. La ligne d’intersection se compose donc des deux coniques C et C'.

THÉORÈME IV

&77 — Quand deux surfaces du second degré se louchent en deux points, elles se coupent suivant deux courbes planes.

Considérons deux surfaces du second degré qui se touchent en deux points a et b. Soit c un troisième point commun aux deux surfaces; par les trois points a, b, c faisons passer un plan P; ce plan coupera chacune des surfaces suivant une conique; ces deux coniques ont trois points communs a, b, c, et les mêmes tangentes en deux points aeib; donc elles se confondent (n° 278). Puisque le plan P coupe les deux surfaces suivant la même courbe, il résulte du théorème précédent que la ligne d’intersection des deux surfaces est formée de deux coniques.

La démonstration précédente suppose que les plans tangents en a et en & ne se coupent pas suivant la droite ab, c’est-à-dire que les points donnés n’appartiennent pas à une droite située sur la surface. Dans ce dernier cas, nous veri’ons qu’en général la ligne d’intersection se compose d’une ligne droite et d’une ligne gauche dont la projection sur un plan est du troisième degré.

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THÊORÈUE V.

Ü7 H— Lorsque deux surfaces du second degré se touchent en trois points, elles se raccordent le long d’une ligne plane.

Considérons deux surfacesl du| second degré qui se touchent en trois points a, b, c; ces surfaces n’ont pas de point commun en dehors du plan P déterminé par les points a, b, c; car, si elles avaient un point commun d, en dehors du plan P, d’après le théorème précédent, chacun des trois plans dab, dbc, dca couperait les deux surfaces suivant la même conique, ce qui est impossible. Les deux surfaces sont coupées par le plan P suivant une même conique C; il est aisé de voir qu’elles ont le même plan tangent en chaque point m de la courhe. En effet, par le point m et le point a, par exemple, menons un plan quelconque différent du plan P; ce plan coupe les deux surfaces suivant deux courbes qui passent en a et en m; ces deux courbes sont tangentes en a, et, comme elles n’ont pas d’autre point commun que le point m, elles sont aussi tangentes en ce point.

& 7 9 — Corollaire I. Nous avons vu que l’équation S — ka.^=o représente une surface du second degré qui passe par les courbes d’intersection de la surface S=o avec les plans «=o, P = 0. 11 en résulte que les surfaces représentées par l’équation

(4) S — kct* = o

sont tangentes à la surface S suivant la courbe d’intersection G de celte surface et du plan a.

L’équation (4) renferme un paramètre arbitraire A: qui permet de faire passer la surface par un point arbitraire; d’autre part on démontre, comme au n” 578, qu’une surface, qui doit être tangente à une surface du second degré en tous les points d’une courbe plane et passer par un point donné, est complètement déterminée. On peut donc regarder l’équation (4) comme l’équation générale des surfaces du second degré qui se raccordent avec la surface S le long de la conique déterminée par le plan a.

590— Corollaire 11. Deux coniques C et C', tracées sur une

môme surface du second degré S, se coupent en deux points a et b; la corde ab est la droite d’intersection des plans des deux coni^jues; il en résulte que deux surfaces du second degré qui se raccordent avec la première surface suivant deux coniques C et C' se touchent en deux points a et b, et, par conséquent, en vertu du théorème IV, se coupent suivant deux courbes planes. Les équations des deux surfaces étant de la forme S — ka}=o, S — kfoi/*=o,

les deux coniques qui composent la ligne d’intersection sont situées dans les plans ko} = koé*.

&81 — Cherchons, comme application, l’équation du cône circonscrit à un ellipsoïde

ac* «’ »’

et ayant pour sommet un point donné p dont les coordonnées sont y„

OS ÇC 1/ ti % X

z^. Le plan de contact ayant pour équation -iy + ^ + -5 1=0;

O O Cl

l’équation générale des surfaces du second degré qui se raccordent avec l'ellipsoïde suivant la conique déterminée par ce plan est

Si l’on prend k de manière que l’équation précédente soit vérifiée par les coordonnées x^, y^, a, du point p, elle représentera le cône circonscrit, puisqu’il n’existe qu’une surface du second degré tangente h l’ellipsoïde suivant la courbe considérée et passant par un point donné; on obtient ainsi l’équation demandée

THËOBÉME VI.

Lorsque deux surfaces du second degré admettent le même plan diamétral pour une certaine série de cordes parallèles, la projection de la ligne d’intersection sur ce plan, parallèlement aux cordes, est une conique.

589 — On sait que l’élimination de t entre deux équations du second degré à trois inconnues x, y, z conduit, en général, à une équation du quatrième degré entre x et y. Ainsi, la ligne d’intersection de deux surfaces du second degré se projette

généralement sur un plan suivant une courbe du quatrième degré. Certains cas font exception. Considérons deux surfaces du second degré qui ont le même plan diamétral pour une même série de cordes; si l’on prend ce plan diamétral pour plan des xy et une parallèle aux cordes pour axe des z, les équations des deux surfaces auront la forme Az* + C = o, A'z’-(-C' = o, C et C' désignant deux polynômes du second degré qui ne renferment que les deux variables xeiy. L’élimination de Z entre les deux équations précédentes donne une équation du second degré A'C — AC' = o. C’est l’équation de la projection de la ligne d’intersection des deux surfaces sur le plan diamétral. Lorsque les deux surfaces ont une génératrice rectiligne commune, la ligne d’intersection des deux surfaces se projette sur un plan quelconque suivant une ligne droite et une courbe du troisième degré.

EXEBCICES.

4 • On mène des normales è un ellipsoïde par les différents points d’une section plane ; trouver le lieu de la trace de ces normales sur l’un des plans principaux. Examiner le cas où le' plan de la section est perpendiculaire au plan principal.

3» Étant donné un ellipsoïde, on mène des plans diamétraux qui coupent le solide suivant une ellipse d’aire constante ; trouver le lieu : 4 ° de la per* pendiculaire menée par le centre ii ce plan; 2<> du diamètre conjugué.

3° L’œil étant placé en un point de la surface d’un ellips«)îde, les perspectives de toutes les sections planes de la surface sur le plan diamétral conjugué du rayon qui aboutit à l’œil sont des courbes bomothéiiqiies; le centre de chacune d’elles est la perspective du sommet do cône circonscrit à l’ellipsoïde suivant la section plane considérée.

4o Démontrer que le lieu de la droite d’intersection de deux plans rectangulaires, menés par deux droites données, est un byperbolofde è une nappe dont les sections circulaires sont perpendiculaires k chacune des deux droites données.

5* Un cène a pour sommet un point d’un hyperboloïde de révolution k une nappe engendrée par une hyperbole équilatère, et pour base le cercle dégorgé; démontrer que les sections anti-parallèles de ce cône sont perpendiculaires au plan du cercle de gorge.

6” Les quatre perpendiculaires abaissées des sommets d’un tétraèdre sur les faces opposées sont situées sur un hyperbolo'ïdc k une nappe. Le centre

de la sphère circonscrite au tétraèdre, le centre de gravité du tétraèdre et le centre de l'hyperboloïde sont en ligne droite.

7° Trouver le lieu des points tels que le rapport des distances de chacun d'eux à deux droites données soit constant. Déterminer ensuite, pour une surface du second degré susceptible de ce mode de génération, les divers couples de droites que l’on peut employer.

8o Le lieu des normales à une surface réglée quelconque le long d'une même génératrice est un paraboloïde hyperbolique.

9“ Étant donnés un point et deux plans rectangulaires, trouver le lieu des points tels que la distance de chacun d’eux au point fixe soit moyenne proportionnelle entre ses distances aux deux pians tixes.

tO» Par une génératrice d’un paraboloïde hyperbolique on mène un plan perpendiculaire au plan directeur auquel cette génératrice est parallèle; ce plan est tangent à la surface en un point de la génératrice que Ton appelle le' point central de cette génératrice ; trouver le lieu de ce point pour les génératrices du même système. (Ce lieu est la ligne de striction de la surface.)

1 1" Par une génératrice d’iin hyperboloïde à une nappe, on mène un plan tangent au cône asymptote et au plan perpendiculaire au précédent; ce dernier touche la surface en un point qu'on appelle point central de la génératrice ; trouver le lieu du point central ou la ligne de striction de la surface.

1 ï» Par un point O pris sur l'arête d’un angle dièdre, on mène dans l’une des faces une droite OA et dans la seconde face une droite OB perpendiculaire à OA; trouver le lieu de la perpendiculaire menée par le point 0 au plan AOB.

^ 3» Étant donnés un cercle et deux points fixes A et B dans l’espace ; par le point B et la droite des contacts relative à un point quelconque P du plan du cercle, on mène un plan; trouver le lieu du point d’intersection de ce plan avec la droite AP.

1 4° Lorsque deux surfaces du second degré passent par deux droites non situées dans un même plan, l’intersection des deux surfaces se compose de ces droites et de deux autres droites, réelles ou imaginaires.

15» Lorsque deux surfaces du second degré se raccordent suivant une même généaatrice, il y a en général sur cette génératrice deux points tels que la seconde génératrice qui passe par chacun d’eux est la même sur les deux surfaces.

4 6» Les perspectives sur un même plan des sections planes d’une surface du second degré ont un double contact réel ou imaginaire avec le contour apparent de la surface.

47° Deux surfaces du second degré qui ont les mêmes plans principaux sont dites homofocales, lorsque leurs sections principales admettent les

mêmes foyers, réels ou imaginaires; ainsi l’équation

dans laquelle X désigne un paramètre arbitraire, représente toutes les sur-

faces homofocales à la surface ^ + Démontrer que par un

point donné passent trois surfaces du second degré homofocales ii une surface à contre donnée; de ces trois surfaces, l'une est un ellipsoïde, l’autre un hyperboloïde è une nappe, la troisième un hyperboloïde è deux nappes. 18» Les trois équations

dans lesquelles on suppose o>6>c, p<c, c<g<6, 6<r<a, représentent des surfaces homofocales; la première est un ellipsoïde, la seconde un hyperboloïde à une nappe, la troisième un hyperboloïde à deux nappes. Démontrer : 1° que ces surfaces se coupent deux à deux à angle droit; 2» que les deux courbes suivant lesquelles une des surfaces est coupée par les deux autres ont pour tangentes en leur point d'intersection des droites parallèles aux axes de la section faite dans la première surface par un plan parallèle au plan langent en ce point.

49* A un ellipsoïde donné on circonscrit un cône ayant pour sommet un point donné; démontrer que les trois axes de ce cône sont les normales aux surfaces homofocales à l’ellipsoïde proposé et passant par le point donné.

20* Étant données deux des surfaces homofocales, trouver une surface de révolution du second degré ayant pour axe l'un des axes de ces surfaces et à laquelle appartienne la ligne d’intersection.

21o Étant donnés les parabuloïdes liomofocaux représentés par l'équation

dans laquelle X est un paramètre arbitraire; si l'on attribue au paramètre X deux valeurs telles que les paraboloïdes correspondants se coupent, ils se couperont à angle droit. Lorsqu’un paraboloïde est coupé par deux autres d’espèces différentes, les tangentes aux deux lignes d’imersection au point commun sont parallèles aux axes de la section faite <lans la première surface par un plan parallèle au plan tangent en ce point.

ai'l LIVRK VI, CHAPITRE VII.

22° Étant donnés deux paraboloïdes homofocaux, trouver une sorfoce de révolution du second degré ayant |H>nr axe l'axe commun des paraboloïdes et ^ laquelle appartienne la ligne d'intersection.

23° Étant données deux droites tangentes ii une sphère, une droite tangente è la sphère glisse sur ces deux droites, trouver le lieu du point de contact. (Cercle.)

2i» Trouver le lieu du sommet d'un autre trièdre circonscrit à on ellipsoïde, et dont les faces sont parallèles à trois plans diamétraux conjugués d'un autre ellipRoïde.

25° Trouver le lieu dn sommet d’un angle trièdre trirectangle dont les arêtes sont tangentes h un ellipsoïde.

26° Par les divers points d'une section plane d'un cône de révolution on mène des normales è la surface; trunver le lieu du second point de rencontre de chacune des normales avec la surface.

27° Une droite se meut de telle sorte que trois de ses points restent dans trois plans fixes ; quel est le lieu décrit par un point quelconque de la droite mobile?

28* Un cène a son sommet au centre d'un ellipsoïde et pour base la courbe d'intersection de l'ellipsoïde et d'un sphère concentrique; tout plan langent au cène coupe l'ellipsoïde suivant une ellipse dont l'arête de contact est l'un des axes.

29° On coupe l’ellipsoïde ^ — 1 = 0 par le plan

X cosa y cosp -f- 3 cosy = 0 ;

démontrer que les axes de la section sont déterminés par l'équation

o’cos’a ^ b* cos’ P , c’cos’t “Tî IT “I” Tï Tï' “1“ "Ti ÜT

dans laquelle r désigne la valeur de l’un des axes.

30° Deux surfaces du second degré qui se touchent en deux points peuvent être inscrites dans un même cône du second degré.

31° Deux ellipsoïdes se touchent suivant une courbe plane; on mène un plan langent à l'un des ellipsoïdes parallèlemeni aux sections circulaires de cet ellipsoïde; ce plan coupc l'autre ellipsoïde suivant une ellipse dont l'iiu des foyers est au point de contact.