Bÿ + Ax»4 AV4 2B"xy42to4 2C'ÿ4F
La seconde partie est un polynôme du second ou du premier degré par rapport aux variables a; et y ou une constante; si elle est du second degré, on la mettra sous l’une des formes (4)} (5)> (6); ainsi le polynôme (8) prendra l’une des formes
(9) 4- 0^*4- cy*4- A,
(10) aa*4-ô(i®4-Y,
(u) aa*4-6^*4-A,
(12) aa*4-[i,
(13) aa'4-A.
Lorsque les trois coefficients A, A', A“ sont nuis à la fois,
l’un au moins des coefficients B, B', B^^ par exemple B, est ditrérent de zéro; alors on a
?.By: + zB^sx-t- aB"xÿ h- zCa; -+- zC'y 4- -+-F
:= :(2By 4- 2B'.r 4- zC'O 4- zB^acy 4-2Ca;4- zC'y 4-F
= 4-^x4- (2Bÿ4-2B' x4-2C")-l-2Ca5-HF
2 B' B' , ■iVi'iCJi zB'C' zC'C-''
La seconde parlio étant nn polynôme en x du second degré au plus, le p)olynÔ!iie pjropwsé i>eut être ramené à l’une des formes
(i.j) a'i4-CY’4-ft,
Si l’on remidaee le produit a|i par
formes (i4), (la), (i(i) se ramènent aux formes (9), (10), (11). • 505 — Cela posé, lorsque l'on donne une équation numérique du second degré, on commence par ramener le premier membre de cette équation à l’une des formes précédentes, et il est facile d’en déduire l’espèce de la surface. Considérons, par exemple, le cas où l’équation peut être mise sous ta forme
(17) aa’4-ô[i’4-CY*4-A' = o.
Imaginons que l’on effectue une transformation de coordonnées
en prenant pour plans des ÿz', des s'x', et des xfy' les plans définis par les équations a=o, fi=o, y=o- D’un point quelconque M de l’espace (fig. 297) abaissons une perpendiculaire MN sur le plan X' (F Y' et menons MI parallèle à OZ' ; désignons par x, y, Z les anciennes coordonnées du point M, par x', y', z' les coordonnées nouvelles, par 8 l’angle des deux droites MN, MI, angle qui est le même pour tous les points de l’espace, et soit enfin Y = wwc-t-ny-t-pz-|-q. La perpendiculaire MN a pour ex-
Fig. 2»7.
DISCUSSION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 808 pression dans le premier système de coordonnées (n* 42B)
^mx-hny-i-pz-hq ±y
et dans le second
MN =± z'cosô.
Dans chacune des formules, le signe du second membre change lorsque le point M passe d’un côté du plan X'OY' à l’autre; si donc on appelle h le produit cos 6 «*-+-?’, atfecté
d’un signe convenable, on aura pour tous les points de l’espace la relation -’ = hz'. On démontrerait de même les relations |i = gy', a = fx'. Il en résulte que l’équation de la surface, par rapport aux nouveaux axes, est
( 1 8) apx'* bg- ?/• -+- ch* z'^ + k = o.
La surface est une surface à centre unique, et les nouveaux plans des coordonnées sont trois plans diamétraux conjugués. L’espèce de la surface est indiqué immédiatement par les signes des coefficients a, b, c, /:.
500 — Rëmarqce I. La transformation des coordonnées suppose que les plans définis par les équations a = o, p = o, y=o se coupent en un point unique. Cette condition peut n’être pas remplie, lorsque les fonctions linéaires a, p, y sont prises arbitrairement ; mais elle l’est toujours lorsque ces polynômes proviennent de la transformation d’une fonction du second degré d’après la méthode indiquée.
Remarque IL Lorsque les trois coeflicients a, b, c n'ont pas le même signe, la surface est un hyperboloïde; si, dans l’équation (18), on supprime le terme constant k, on obtient l’équation du cône asymptote par rapport aux nouveaux axes; ou en conclut qu’en supprimant la même constante k dans f équation (17), on obtiendra l’équation du cône asymptote par rapport aux axes primitifs.
Remarque III. Lorsque a et 6 sont positifs, c et Ar négatifs, la surface est un hyperboloïde à une nappe. Si l’on pose c = — c^, k= — Aj, cette équation devient
atx} — c^Ÿ = k^ — b[i*.
les deux systèmes de génératrices rectilignes sont donnés par
les équations
î aVâ + Yv/ci=>.{VA-.-+-îiVft), l ol^jâ-+-‘^^ic^=\^.{\|k^—p\|b),
j aVâ — yVc;=i(\/^-fiV6), aVa — YVci=^(V*i-+-PV^'
dans lesquelles >. et sont des paramètres arbitraires.
567 — Lorsque le premier membre de l’équation se réduit à la forme (lo), on reconnaît par la même transformation que la surface est un paraboloïde, elliptique ou hyperbolique, suivant que les coefficients o et 6 ont le même signe ou des signes contraires. Dans ce dernier cas, si l’on suppose a positif, b négatif et égal à — b^, on voit que les deux systèmes de génératrices rectilignes sont définis par les équations
a Va -H [i v^, = >., a Vô — ^yJb^ = ^L,
les droites du premier système sont parallèles au plan a Vâ-Hp V^=o,
celles du second système au plan
aVô — flV^=o;
l’ensemble des deux plans directeurs est représenté par l’équation aa* — 6, P* = O, ce qui est conforme à la remarque du n°56o.
Lorsque le premier membre se réduit à la forme (ii), en prenant pour nouveaux plans des coordonnées les deux plans « = o, fJ=o, et un troisième plan non parallèle à la droite d’intersection des deux premiers, on voit que la surface est un cylindre elliptique ou hyperbolique. La forme (12) correspond au cylindre parabolique, et la forme (i3) au système de deux plans parallèles.
Les formes (i4), (i5), (16) se ramènent aux précédentes; mais cette réduction n’est pas nécessaire. On voit directement que la forme (i4) donne un hyperboloïde à une nappe, si cet ^ ont des signes contraires, un hyperboloïde à deux nappes s’ils ont le même signe. Dans le premier cas, soit c positif,
k négatif et égal à — k^\ les équations des deux systèmes de génératrices rectilignes de la surface sont
f\lc-hyjk, = \ci, l yVe — VÂi = (*a, yVe — j yVc-l-V*i = -^-
Al (A
La forme (i5) correspond au paraboloïde hyperbolique; les deux systèmes de génératrices rectilignes sont représentés par les équations
ei = X < {i=P',
Enfin la forme (i6) donne un cylindre hyperbolique.
S68— Dans ce qui précède nous avons supposé les axes rectangulaires. On peut employer la même méthode de transformation quand les coordonnées sont obliques, et l’on reconnaît aisément que Ton a
,pz' cos O'
0 et O' étant les angles que la normale au plan y = o fait avec les axes OZ et OZ' ; il en résulte, comme dans le cas des coordonnées rectangles, y = hz', A étant une constante.
Exemple I. 4x*-|- 3y*-|- 9s* -|-8a5S 4xy -t- 4y 8z-(- 9 = 0. Le premier membre de l'équalion, ordonné par rapport à x, est
4x*-f- 4x (y -f- 2 5) -f- 3y*-i- 93* -f- 4 y -f- 83 -f- 9, ou
et, en faisant les réductions dans la seconde partie,
(2x -+- y -|- 2 3)* 4- 2 y* -I- 63* — 4 ys 4- 4 y -p- 8 z 4- 9.
La seconde partie, ordonnée par rapport à y, devient 2y* — 4ÿ(3— <)4-B3*4-8s4-9 = 2(y — 3 4-i)*— 2(3— 1 )*4-53*-+-834-9. Enfin la dernière partie de ce nouveau polynéme est 3a* 4- «23 4- 7 = 3 (3 4- 2)*- 5.
U résulte de ce qui précède que l’équation proposée peut se mettre sous la forme
Cette équation représente un ellipsoïde, et les trois plans définis par les
5ü« LIVRE VI, CHAPITRE VI.
équalious I
sont irois plans diamétraux conjugués de la surface. Ces plans se coupent 1
au point ® = y = — 3, * = — 2, qui est le centre de la surface.
Exkuple II. 4x*— 16y*-+-Uys-4-4s®— ijcy + i®— 3ij/ + 24s— <8=0.
On a successivement
4®’— 15y* + 14y»-(-4a® — 4®y + 4®— 34y + 24* — 48 = 4®*-l- 4®(a — ÿ-1- 1) — 45y‘+ 44ys — 34y-f- 24s — 18 = (2x — y + s + 1)*— 16y'+16y5 — 3* — 32y + 22s — 19;
pub
-16ÿ’-l-16y(s-2)-s‘4-22 3-19=-4(2y — s-f-2*+33’-l-63 — 3; et enfin
L'équation proposée prend la forme
elle représente un liyperboloïde à une nappe. Les équations des deux systèmes de génératrices rectilignes de la surface sont
) îx+3,i- 5+5 = x[V6+(3-+-I)V3], ^ 2x+3y-x -1-5= p[Vfi-(s-H)V3].
j 2.r-5y-t-33-3 = i[v'6-(3-H)v/3j; | 2x-5y-|-33-3 = l-[Vê-H®-H)V3]
L'équaiiun du cône asymptote c^t
(2x-y-l-3-Hl)*-i(2y-3-(-2)*4-3(3-t-1)* = 0.
Exemple III. 4x’-(-4y*-(-123’ — 12y3-l-4xy-4-4x-l-2ÿ-t-3a = 0.
On a
4x’-i-4x(y-+-1)-|- 4y*-|- 12 s* — 12ys4- 2y-4- 3 s = (2x-|-y-)-1)*-(-3y*-t- 12a* — 12ys-+- 3s — 1,
et l'équation de la surface peut se mettre sous la forme
elle représente un paraboloïde elliptique.
Exemple IV. 4x*— 2y’— 1 2 s*-|- 1 2 ys -|- 4xy -4- 4x -+- 2y -h 3s = 0. L’équatinn se met sous la forme
elle représente une paraboloïde hyperbolique.
Les deux systèmes de génératrices rectilignes de la surface sont donnés
par les équations
'+y-f-<4-(y — 2«)V5 = X, / ix+y + {+{y—is)\/3—y.{{—Zz),
Exemple V. a:*+4y’+a*— iys— 2*aH-iÆi/+6*+ 4y— 5* + 3=0. Ordonné par rapport à x, le premier membre s'écrit
a:’-|-2x(2ÿ — z + 3) + ky*-\- z* — 4yx-|-4y — 6* -1-3 = (x-i-2y— s-i- 3)*— 8y -H » — 6, et l’équation proposée prend la forme
elle représente un cylindre parabolique; les arêtes du cylindre sont parallèles è la droite déterminée par les deux équations
Exemple VI. Indiquer les diverses surfaces représentées par l'équation {2 m’ -4- 1) (y*-)- s*) — 2 (y« -4- sx -4- asy) = 2m’— 3m-4-l, dans laquelle m est un paramètre variable. Le second membre est un polynôme du troisième degré dont les racines sont 1 et — ; si l'on pose
m = m = ) on écrira ce polvnome sous la forme
Lorsque le paramètre m est différent de zéro, si l’on transforme le premier membre en une somme de carrés, l'équation devient
Lorsque le paramètre m est égal à zéro, l'équation se réduit è (x — y — a)* — 4ya = I.
La racine m" est plus petite que l'unité, la valeur ab.^^olua de m’ est au contraire plus grande que l'unité.
<0 Quand le paramètre m a une valeur comprise entre — oo et m', les coefficients des carrés étant positifs et le second membre négatif, on a un ellipsoïde imaginaire. Lorsque m acquiert la valeur m', le lieu est un point.
2» Quand m est compris entre m' et — I , les coefficients des carrés étant positifs, ainsi que le second membre, la surface est un ellipsoïde. Pour m = — 4, l'ellipsoïde se change en un cylindre elliptique.
30 Quand m est compris entre — 4 et m”, le lieu est un bvperboloïde à une nappe. Cet intervalle comprend la valeur m == 0, à laquelle ne convient pas la première forme; mais la seconde forme montre que dans ce cas la surface est toujours un hjperbololde à une nappe. Pour m = m", l'hyperboloïde se change en un cène.
4« Lorsque m est compris entre m" et 4- 4 , le second membre devenant négatif, on a un hyperboloïde à deux nappes. Pour m = 4 , on a une droite.
5* Enfin quand m est compris entre 4 et 4- «o , on a de nouveau an ellipsoïde.
Pour que la surface soit de révolution, comme les trois coefficients B, B', B" sont différents de zéro, il faut que l'on ait les relations
