CHAPITRE I

Ligne droite.

CONSTRUCTION DE l’ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ.

59— L’équalion générale du premier degré entre les deux variables x et y est de la forme

(i) Aa;-t-By-f-C = o.

Nous avons déjà fait remarquer que la ligne représentée par celte équation, ne pouvant être coupée par une droite en plus d’nn point, est nécessairement droite. Nous démontrerons directement que cette équation représente une ligne droite.

11 est impossible que les deux coeftlcients A et B des variables soient nuis à la fois; car alors il faudrait que l’on eût C = O, et réquation se réduirait à une identité. Mais il peut arriver que l’un des coefficients soit nul; si, par exemple, le coefficient A est nul, l’équation se réduit X à la forme By-i-C = o ou y = 6. Celte Fig. :j8. équation représente le lieu d’un point M

dont l'ordonnée MP est constante et égale à b, quelle que soit l’abscisse OP; c’est une droite G'G parallèle à l’axe OX (lig. 38); on l’obtient en portant sur l’axe OY, à partir de l’origine, une longueur OB égale à la valeur absolue de b, dans un sens ou dans l’autre, suivant le signe de b, et menant par le point B une parallèle G'G à l’axe OX. En particulier, l’équation y = o représente l’axe OX lui-même.

Lorsque le coefficient B est nul, l’équation se réduit à

Aj-t-C = o, ou x = a. Celte équation représente le lieu du point M dont l’abscisse MQ est constante et égale à a, quelle que soit l’ordonnée OQ; c’est une droite H'H parallèle à l’axe OY (fig. 39); on l’obtient en portant sur l’axe OX, à partir de l’origine, une longueur OA égale à la valeur absolue de a, dans un sens Fig. 39. ou dans l’autre, suivant le signe de a, et menant par le point A une parallèle H'H à l’axe OY. En particulier, l’équation a: = o représente l’axe OY.

Lorsque le coefficient B n’est pas nul, on peut diviser par B et mettre l’équation sous la forme

ni (2) y = ax + b.

en posant, pour abréger, o = — g» b =— jj-

Considérons d’abord le cas particulier où b = o, ce qui ré duit l’équation à la forme

y = ax,

Si a est un nombre positif,

tous les points du lieu, ayant leurs coordonnées de même signe, se trouvent dans l’angle YOX, ou dans son opposé par le sommet Y'OX' (fig. 40). Prenons une abscisse quelconque OP, et par le point P menons une parallèle à l’axe des y; on pourra, sur cette parallèle, trouver un point M tel que MP

l’on ait

sera un point du lieu. Soient M, M', M", ... divers points du lieu construits de celte façon ; des rapports égaux