SIGNIFICATION DES COEFFICIENTS

01 L’équation de toute droite non parallèle à l’axe des y peut être mise sous la forme

y = ax-hb.

La constante b est l’ordonnée du point H (fig. 4®) où la droite coupe l’axe des y; on l’appelle ordonnée à l origine.

La constante a ne dépend que de la direction de la droite; elle est la même pour toutes les droites parallèles; on l’appelle coefficient angulaire ou de direction. Menons par l’origine une demi-droite OA parallèle à la droite proposée et située par rapport à l’axe X'X du même côté que la demi-droite OY. Appelons 6 l’angle des axes, a l’angle de OA avec OX, angle qui peut varier de o à ir; on a, dans la disposition de la figure 4o»

ÿ MP sin MOP sina ® X OP sinOMP sin (0 — a)

et, dans celle de la figure 4i,

y MP sinMOP sina .

ZTÔp — — sinOMP~ — sin(a — 6) sin (6 — a)’

on a donc, dans tous les cas,

sina

sin (ô — a)

Quand les axes sont rectangulaires, cette relation se réduit à

(4) tanga = a.

et détermine l’angle a, que fait avec l’axe OX la direction OA.

Quand les axes sont obliques, de la relation (3) on déduit la formule

tanga

asin9 I -l-acos9’

Cette formule n’étant pas calculable par logarithmes, pour obtenir l’angle a au moyen des tables, on la transforme de la manière suivante. On a, en effet,

a — lésina — sin (6 — a)

o-f-i sinaH-sin(9 — a) , 9 ’

tang-

d’où (6) tang(^a — ®^ = |^tang®-

OS — Lorsqu’on veut construire la droite représentée par une équation du premier degré à coefficients numériques, on cherche ordinairement les points où elle coupe les axes, et on fait passer une droite par ces deux points.

Soit, par exemple, l’équation zx — 3y = 5; pour y = o, on a 37 = 1; pour x = o, f ; on portera, à partir de l’origine sur l’axe des x, la longueur | dans la direction OX, sur l’axe des y la longueur dans la direction OY'.

Quand l’équation ne renferme pas de terme constant, la droite passe par l’origine. On en détermine un second point, en donnant à x une valeur particulière; soit, par exemple, l’équation 2ÿ-4-3a: = o; l’équation étant vérifiée pour a: = o, y — O, la droite passe par l’origine; si l’on fait a; = 2, on a y = — 3; construisant le point qui a pour coordonnées x = 2, y= — 3, on obtiendra un second point que l’on joindra à l’origine.

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63— L’équation générale de la ligne droite

Aa: + B,?/-t-C = o

renferme deux coefficients ou paramètres arbitraires; car on peut diviser l’équation par l’un des coefficients, et il restera les rapports des deux autres coefficients à celui par lequel on a divisé. Quand on met l’équation sous la forme y = ax-hb, ces deux paramètres sont a et b. Pour fixer la position de la ligne droite dans le plan, il faudra donner les valeurs des deux paramètres, ou deux équations entre ces deux paramètres servant à déterminer leurs valeurs.

PROBLÈME I

64— Trouver l'équation générale des droites qui passent par un point donné.

Appelons x* et y' les coordonnées du point donné M. L’équation d’une droite quelconque est

y = ax-\-b.

Pour que cette droite passe par le point M, il faut que les coordonnées de ce point vérifient l’équation de la droite; si donc on remplace les coordonnées variables x et y par les coordonnées 3/ et y' du point M, on aura l’équation de condition

i/ = aa/ + b.

Celte relation entre les deux paramètres o et 6 détermine l’un d’eux en fonction de l’autre, par exemple le paramètre b en fonction de a; en remplaçant dans l’équation de la droite b par sa valeur if — ax' tirée de l’équation de condition, on obtient l’équation

L’équation (7), dans laquelle le coefficient angulaire a est arbitraire, représente toutes les droites qui passent par le point M. Quand on fait varier le paramètre a, la droite tourne autour du point M.

Nous avons supposé que toute droite est représentée par une équation de la forme y = ax-i-b, quelle que soit sa position dans le plan. Cependant il y a une exception, c’est lorsque

la droite est parallèle à Taxe des y; car, dans ce cas, le coefficient angulaire a est infini, ainsi que l’ordonnée à l’origine 6. Cependant, si dans l’équation (7) on remplace a parle rapport

Kïi

-f qu’on mette Téquation sous la forme n{y — y') = m{x — x/),

et qu’on fasse ensuite n = o, on obtient Téquation x = xf, qui représente la parallèle à Taxe des y, menée par le point M.

PROBLÈME II

«w point donné mener une droite parallèle à une droite donnée.

Soit y = ax-i-b Téquation de la droite donnée AB, et y' les coordonnées du point donné M (fig. 42). La droite demandée devant passer par le point donné, son équation, comme nous l’avons dit, sera de la forme

y — yf = a'[x—xf).

Cette droite devant être parallèle à la droite AB, son coefficient angulaire a' sera égal au coefficient angulaire o de la droite AB; on aura donc a' — a, et la parallèle demandée CD sera représentée par Téquation y — i/ — a{x — x').

PROBLÈME III

06 — Mener une droite par deux points donnés.

Soient M et M' (flg. 43) les deux points donnés, x' et y' les coordonnées du point M, x" et y'' celles du point M'. La droite MM', passant par le point M, est représentée par une équation de la forme

il s’agit de déterminer le coefficient a, de manière que cette droite passe aussi par le point M'. Il faut pour cela que les coordonnées du point M' vérifient Téquation (7), ce qui donne la relation

d’où l’on déduit

ÜGNE DROITE.

On voit q»ie le coefficient angulaire de la droite MM' est égal au rapport de la différence des ordonnées à la différence des abscisses des deux points donnés. Si, dans l’équation (7), on remplace a par sa valeur, on obtient l’équation de la droite MM',

{x—xf).

équation que l’on peut mettre sous la forme

a-” — x/ ~~ y" — if

Lorsque le point M est à l’origine, on a a' = o, y' = o, et l’équation (8) se réduit à

'it — " /r

«X— Il arrive souvent que la droite est définie par les points ï/ A et B où elle coupe les axes (flg. 44); ap*

\ / pelons a l’abscisse du premier point, b

sk l’ordonnée du second, et soit

y Nv Ax-f-By-f-C = o

jô ô T l’équation de la droite cherchée. Si l’on y

/ fait successivement y = o et x = o, on ob-

Fig. 41. tient les points où la droite coupe les axes;

on a ainsi a = — t’ — d’où A = » B = — r- En

AB a b

remplaçant A et B par leurs valeurs, on met l’équation sous la

forme simple

PROBLÈME IV

AS — Trouver le point d’intersection de deux droites données. Soient

Ax-i-By-l-G =0,

les équations de deux droites données AB et CD (fig. 4Ô), M le point d’intersection de ces deux droites. Le point M appartenant à chacune des droites, ses coordonnées vérifient à la fois les deux équations; si donc on résout ces deux équations simultanées à deux inconnues X et y, on obtiendra les coordonnées Fig. 45. du point M,