AB' — BA'’ '^“"AB' — BA

Quand le dénominateur AB' — BA' est différent de zéro, les formules donnent pour xety des valeurs finies et déterminées et les deux droites se coupent effectivement en un point M. Mais quand le dénominateur AB' — BA' est nul, sans que les numérateurs le soient, on obtient pour a; et ÿ des valeurs infinies; ceci indique que les deux droites proposées sont parallèles; et, en effet, dans ce casellesont leurs coefficients angu-

laires égaux — ^ = — ip. Si 1 on a » la fois ^ = ^. les deux numérateurs sont nuis en même temps que les dénominateurs, et les valeurs de x et de y se présentent sous la forme

il y a indétermination, et, en effet, les deux droites proposées

coïncident; car, si l’on pose — = — = 77 = A, d’où A' = AA-,

A D Ci

B' = BA, C'= CA, que l’on remplace dans la seconde équation, et que l’on divise par A, cette équation devient identique à la première.

PROBLÈME V

69— Trouver l’équation générale des droites qui passent par le point d’intersection de deux droites données.

Soient

les équations des deux droites données. On pourrait traiter la question en cherchant les coordonnées du point d'intersection des deux droites par la résolution des équations (10) et (i i), et

faisant passer une droite quelconque par ce point (n° 64). Mais on arrive au même résultat par une marche beaucoup plus rapide.

Si l’on ajoute membre à membre les deux équations (lo) et (il), après avoir multiplié l’une d’elles par une quantité arbitraire on obtient une équation du premier degré

(12) (Aa? “i— By C) -f- X (A’j7 = O,

qui représente une troisième droite passant par le point d’intersection des deux premières; et, en effet, les coordonnées de ce point, vériliant à la fois les deux équations (10) et (i 1), annulent les deux parenthèses, et, par conséquent, satisfont à l’équation (12). Cette équation (12], dans laquelle le coefficient >. est arbitraire, représente toutes les droites qui passent par le point d’intersection des deux droites données; car, on peut déterminer ce coefficient de manière que la droite passe par un point quelconque M du plan, ayant pour coordonnées x' et y'; il suffit pour cela que l’équation de condition

(Ax' -+- By' -4- C) -t- ^ ( A'a/ -I- By' -4- C' = u

soit vérifiée, ce qui donne (i3) >.=

Ax''-|-B//-)-C A a/ -H B' y -h C'’

Quand on fait >.=0, l’équation (12) devient Ax -4- By -t- C = o;

c’est la première droite. Si l’on remplace ^ par ^ » et qu’après

avoir multiplié par n, on fasse n = o, on a la seconde droite A'x-|-B'y-t-C'=o.

Si, dans l’équation (12), on remplace X par sa valeur (i3), on obtient l’équation

Ax-t-By-4-C A'x-l-B'y H-C'

Ax -hby + C “ A x' -HB'y' -4- C'’

qui représente la droite passant parle point M et le point d’intersection des deux droites données. Les numérateurs sont les premiers membres des équations des deux droites données, les dénominateurs les valeurs de ces polynômes, quand y on remplace X et y par les coordonnées du point donné. On reconnaît immédiatement, à l’inspection de cette équation, que la droite

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qu’elle représente passe par le point donné et par le point d’intersection des deux droites données.

Une équation du premier degré en a; et y contenant un paramètre arbitraire >. représente uneinûnitéde droites; lorsque ce paramètre n’entre qu’au premier degré dans l’équation, on peut mettre l’équation sous la forme (12); on voit alors que toutes les droites passent par un même point, le point d’intersection des droites (10) et (ii).

PROBLÈME VI

y O — Reconnaître si trois points sont en ligne droite.

Soient M, M', SF les trois points donnés, x' eti/ les coordonnées du premier point, x" et 1/ celles du second, et »/" ^ celles du troisième (fig. 46)- Les coeffi-

/ cients angulaires des droites MM', MM"

/ les trois points M, M', M" sont en ligne

7 droite, les deux droites MM', MM" coïn-

Fig. 46. cident, leurs coefficients angulaires sont

égaux, et l’on a la relation

PROBLÈME VU

7%.— Reconnaître si trois droites passent par un même point. Soient

les équations des trois droites données. On cherchera le point d’intersection des deux premières droites, et on substituera les coordonnées de ce point dans la troisième équation.

On peut aussi traiter la question par une autre méthode. L’équation

(A -t- X A') Æ 4- (B 4- B') y (C + X C') = O représente toutes les droites qui passent par le point d’inter-

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section des deux premières droites; si la troisième droite passe par ce point, on doit pouvoir déterminer le paramètre 1, de manière que l’équation précédente représente cette troisième droite; pour que deux équations représentent une même droite, il est nécessaire que les coefQcients soient proportionnels; on a ainsi les deux relations

A-h\A' C-f-XC'

à une inconnue L’élimination de cette inconnue conduit à une équation de condition.

79 — Considérons, par exemple, les trois médianes d’un triangle OâB (ûg. 47) ; prenons le sommet 0 pour origine, les deux côtés OA et OB pour axes des coordonnées, et désignons par a et 6 les deux longueurs OA et OB. La médiane AE, coupant les

' axes à des distances o et - de l'ori-

Fig. 47. , 2

gine, a pour équation

de même, la médiane BF a pour équation

Le point D, milieu de AB, a pour coordonnées OF = ^* OE =

la droite OD, qui va de l’origine à ce point, est représentée par l’équation

En résolvant les deux premières équations, on obtient les

coordonnées ^ y — \' point d’intersection G des deux

premières médianes AE et BF. Ces coordonnées vériflant la troisième équation, on en conclut que la troisième médiane passe aussi par le point G.

On voit d’abord immédiatement que les trois médianes passent par un même point; car, si l’on retranche les deux premières équations membre à membre, on obtient la troisième.

fS — Comme exemple de trois points en ligne droite, considérons un quadrilatère OACB (lig. 48); si l’on prolonge les

quatre côtés indéfiniment on forme ce qu’on appelle un quadrilatère complet; les côtés se coupent deux à deux en six points ou sommets; enjoignant les sommets opposés, on obtient trois diagonales AB, A' B', OC; nous allons démontrer que les trois points D, E, F, qui divisent ces diagonales en deux parties égales, sont en ligne droite.

Prenons les côtés OA et OB pour axes des coordonnées; désignons par a et a' les deux longueurs OA et OA', par 6 et ô' les deux longueurs OB et OB'. Le point D, milieu de AB, a pour

coordonnées = — Le point E, milieu de A' B', a

Fig. 48.

pour coordonnées = ÿ’'=-

Pour avoir les coordon-

nées du point F, milieu de OC, cherchons celles du point C, intersection des deux droites AB', A'B, qui ont pour équations

En résolvant ces deux équations simultanées, on obtient les coordonnées du point C,

■h') bb' (a — a')

aa' [b