I -f- 2acosO -t- a

En développant les calculs, on voit que la quantité placée sous le radical contient le facteur i — cos’ô ou sin‘8, et s’écrit

il en résulte

(i -I- 2acos6-|- a’) sin’6;

(y' — ax' — b)sinO Vi-f-2acos6-|-«‘

Le numérateur est positif ou négatif suivant que le point M est placé par rapport à la droite AB du côté des y positives, ou du côté des y négatives. On prendra le signe de façon que l’on ait pour l une quantité positive.

77 — Dans ce qui précède, nous avons supposé l’équation de la droite donnée mise sous la forme y = ax-hb. Si cette é(}uation avait la forme générale

(i) Aic + By + C = o;

le coefiicieiit angulaire a de la droite donnée étant égal à

— g’ on aurait dans le cas des coordonnées rectangulaires

a' = — - = x’ perpendiculaire abaissée du point M serait

représentée par l’équation

011 plus simplement

La formule (ai), dans laquelle on remplace a et b par leurs

valeurs —

devient

Celte formule exprime la distance d’un point à une droite en coordonnées rectangulaires : le numérateur est le premier membre de l’équation de la droite, dans lequel on remplace x eli/parlescoordonnéesdu point; le dénominateur est la racine carrée de la somme des carrés des coefficients de x et de y.

Quand les axes sont obliques, on a

— AcosO ® ~A-BcosO’

l’équation de la perpendiculaire est

A — Bcos6~B — AcosO’

et la formule (a3) devient

, , , , fAic' + Bj/+ C)siii6

(37) lz=-+-~— '

VA’+B* — 2ABcosO

Il est aisé de reconnaître le signe du numérateur, suivant la position du point M par rapport à la droite AB. Soit N (fig. 5o) le point où la parallèle NQ à l’axe des y rencontre la droite AB; pour le point N, l’expression Ajî-|- By -I- G est nulle; quand le ooetficient B est positif, si l’on marche dans le sens des y posi- ÜTes, le terme By augmente, et la fonction prend des valeurs l*ositives de plus en plus grandes; si l’on marche dans le sens opposé, elle prend des valeurs négatives. C’est le contraire qui olieu, lorsque B est négatif.

PROBLÈME X

ÏS— Par le point (Tmlersection de deux droites données, nener une droite perpendiculaire à une droite donnée.

Soient

Ax-l-By-t-C =o, k' X ->r^' y r/ = O,

les équations des trois données en coordonnées rectangulaires; toute droite passant par le point d’intersection des deux premières droites est représentée par une équation de la forme

{kx B y “1— C) ^ {k^ X — 1“ B^y —I— C^) — o;

pour qu’elle soit perpendiculaire à la troisième droite, on doit avoir

, A"(A-l->A0 ’'^B"(B-^XB0“°’

d’où l’on déduit