ÊQDATION DE LA LIGNE DROITE EN COORDONNÉES POLAIRES

82— Soit O le pôle et OX l’axe polaire. On peut déterminer la position d’une droite AB par la longueur a de la perpendiculaire OD abaissée de l’origine sur cette droite (fig. 5i), et par l’angle a que fait cette perpendiculaire avec l’axe polaire, cet angle étant compris entre o et air. Ap- , petons P et to les coordonnées d’un point quelconque M de la droite; en projetant le rayon vecteur OM sur la perpendicu-

Fig. GK

laire OD, on a

(3i) pcos(w-

■ x) = a; ou p =

cos (tü — a)

Cette équation est de la forme

(3a) P \ cos (d -t- B sin oj

Réciproquement, toute équation de cette forme représente une droite; car si l’on revient aux coordonnées rectilignes, en prenant l’axe polaire pour axe des x, et une perpendiculaire menée par le j)ôle pour axe des y, l’équation se met sous la forme A£r-t-B?/ = C.

AUTRE FORME DE l’ÉQUATION d'uNE DROITE.

L’équation (3i) développée devient

P cosoj cosa -t- P smw sma = a, ou, en coordonnées rectilignes rectangulaires,

(33) accosa-t-ÿsina — a = o.

L’équation de la droite étant mise sous cette forme, le premier membre a une signification géométrique très-simple. Considérons un point quelconque M du plan, ayant pour coordonnées polaires P et w, et pour coordonnées rectilignes xeiy; de ce point abaissons une perpendiculaire MP sur la droite AB (fig. 52). La projection du rayon vec- Fig. 52. teur OM sur la droite OD est pcos(w — a);

mais cette projection est égale à OD, augmentée ou diminuée de la perpendiculaire PM, suivant que le point M et l’origine O sont situés de part et d’autre de la droite ou du même côté; si donc on désigne par p cette perpendiculaire, affectée du signe -idans le premier cas, du signe — dans le second cas, on aura, d’une manière générale,

a-l-p = p cos (td — a) = xcosa -4- y sin a, d’où p = a:cosa-t-ÿsina — a.

Ainsi, le premier membre de l’équation (33) représente la distance d’un point quelconque du plan ayant pour coordonnées a; et y à la droite définie par cette équation, distance affectée d’un signe convenable.

Il est facile d’en déduire les coordonnées x, et y^ du pied P de la perpendiculaire; les différences x — ac,, y — y, étant les projections de la droite PM sur les deux axes, on a

X — X, =p cosa = (x cosa + y sin a — a) cos a, y — yt=p sina= (xcosa4-y sina — a) sina.

La forme (33), sous laquelle on peut toujours mettre l’équation de la droite, est utile dans un grand nombre de questions.