CHAPITRE II
Du eerele.
g4 — Cherchons d’abord l’équation de la circonférence en coordonnées rectangulaires. Désignons I par a et 6 les coordonnées du centre G
0« (fig. 53) et par r le rayon; la circonfé-
rence, étant le lieu des points dont la distance au centre est égale au rayon, a il' ^ pour équation
FiK.53. W (x-a)* + (y-6)* = r*;
cette équation dévelopi)ée se met sous la forme (a) x’-(-y’ + Ax-|-By-l-C = o.
Ainsi, l’équation du cercle, en coordonnées rectangulaires, est une équation du second degré, qui ne renferme pas le rectangle sy de* variables, et dans laquelle les termes en x’ et en y* ont même coefficient.
85 — Réciproquement, toute équation de cette forme, en coordonnées rectangulaires, représente une circonférence de cercle, quand elle représente un lieu. En effet, on peut écrire l’équation (a) de la manière suivante
Marquons le point C, qui a pour coordonnées — — et — le
premier membre représente le carré de la distance d’un point quelconque M du plan ayant pour coordonnées a: et y au point C; si le second membre est positif, l’équation sera ■vérifiée par les coordonnées de tous les points du plan dont la distance au
point C est égale à
C; elle représente donc une
circonférence de cercle. Lorsque le second membre est nul, la distance MC devant être nulle, le point M coïncidera avec le point C, et l’équation ne sera vérifiée que parles coordonnées de ce point; le lieu se réduit donc à un point unique. Enfln, lorsque le second membre est négatif, l’équation ne peut être vérifiée par les coordonnées d’aucun point du plan; car le carré de la distance d’un point M au point C est une quantité positive; l’équation ne représente donc, dans ce cas, aucun lieu géométrique.
86— Supposons, maintenant, les axes des coordonnées obliques et faisant entre eux l’angle 0 (fig. 54); en exprimant que la distance d’un point quelconque du lieu au centre est égale au rayon, on aura l’équation de la circonférence
(3) (.r — a)* -t- (y — h)' — a) (y — b) cos6 = r*.
Cette équation est de la forme
(4) a:*-l-y*-l-2a;ÿCOs6-HAÆ:-|-By-|-C = o.
Ainsi l’équation du cercle, en coordonnées obliques, est une équation du second degré, dans laquelle les termes en x’ et en y’ ont pour coefficients l’unité, et le terme en xy deux fois le cosinus de Vangle des axes.
87 — Réciproquement, toute équation de cette forme représente une circonférence du cercle, quand elle représente un lieu. En effet, on peut déterminer les trois constantes a, b, r’, de manière à idenlifier les équations (3) et (4). L’équation (3),
DU CERCLE
développée, devient
X* -H -ixy cos6 — 2 (a -t- 6 cos 9) a; — 2 (6 -h a cosO) y -H(a* H- 6’ -1- 2 o6 cos 9 — r’) = O.
On identifiera cette équation à l’équation (4) en posant
à-+-6cos9= — — * 6h-ocos9 = — — .
a’ + 6’ -t- 2 a6 cos9 — r’ = C.
Les deux premières relations donnent pour a et 6 des valeurs finies, puisque le dénominateur i — cos’9 ou sin’9 est différent de zéro. La troisième donne
r* = 206 cos9 — C.
Marquons le point C, qui a pour coordonnées a et h. Le premier membre de l’équation (3) représente le carré de la distance d’un point quelconque M du plan, ayant pour coordonnées X et ^ au point C. Si l’on trouve pour r* une quantité positive, l’equation sera vérifiée par les coordonnées de tous les points du plan distants du point C delà longueur r;elle représente donc une circonférence de cercle. Si l’on trouve pour r* une quantité nulle, la distance MC devant être nulle, l’équation ne sera vérifiée que par les coordonnées du point C; elle représente un seul point. Enfin, si l’on trouve par r* une quantité négative, l’équation n’est vérifiée par les coordonnées d’aucun point du plan.
Au lieu de déterminer le centre C du cercle par ses coordonnées a et h, il est plus commode de le déterminer par les projections orthogonales de la droite OC sur les deux axes. Appelons a' et V ces deux projections OD et OE (fig. 54), prises avec le signe convenable, et exprimons que la projection de la droite OC sur l’un ou l’autre axe est égale à celle de la ligne brisée OPC ou OQC; nous aurons
a' = «-i-6cos9, è'=:6-i-acos9;
il en résulte a'= — — ■> b' = — — .
Après avoir porté sur les axes à partir de l’origine les Ion-
gueurs a' et b', on mènera par les points D et E des perpendiculaires aux axes; l’intersection des deux perpendiculaires déterminera le centre C.
88— L’équation d’une circonférence du cercle, comme nous l’avons dit, est
(5) (x — a)- -h(ÿ — b)‘ -h 2(x — a) {y — b) cos8 — r* = o.
Le premier membre a une signification géométrique qu’il est bon de remarquer. Considérons un point M du plan ayant pour coordonnées x et y; l’expression
{x — a)*-|- (y — 6)’-t- 2 (a: — a) {y — 6) cos9
représente le carré de la droite MC qui joint le point M au
^ centre (fig. 55); le premier membre de l’é-
I quation est donc égal à MC* — r’, c’est-à-dire
\ j au produit des deux facteurs MC-t-r et
^ MC — r, qui sont les deux segments MA et
Fig. 55. MB du diamètre mené par le point M, seg-
ments affectes du même signe ou de signes contraires, suivant (|u’ils sont portés dans le même sens, ou dans des sens opposés. Ainsi, le premier membre de l’équation (5) représente le produit des deux segments d’une sécante quelconque menée par le point M. Quand le point M est extérieur au cercle, ce produit est égal au carré de la tangente.
PROBLEME f.
H9— Trouver l’équalion de la tangente à une courbe quelconque.
Nous avons déjà donné la défi- '! y nition de la tangente en un point M
d’une courbe (n® 27). Par le point —in M et un point voisin M' pris sur la I j courbe, menons une sécante MM’,
/ / ; j puis supposons que le point M’ se
^ rapproche indéfiniment du point F‘k- 5®- M ; la sécante MM’ tournera autour
du point M et tendra une position limite MT; cette droite MT est dite tangente à la courbe au point M (fig. 56).
liV CERCLE.
Soient æ et y les coordonnées du point du contact M, a: -h A et y 4- A- celles du point \oisin UE; le coefficient angulaire
de la sécante MM' est le rapport ^ de la différence des ordonnées des deux points M et M' à la différence de leurs abscisses. Quand le point M' se rapproche indéûnimcnt du point M^ les deux accroissements h et A tendent simultanément vers zéro,
et leur rapport^ tend vers une limite, qui est la dérivée de
l’ordonnée considérée comme fonction de l’abscisse.
Si l’équation de la courbe est résolue par rapport à y et mise sous la forme y = f{x); la tangente aura pour coefficient angulaire y' = f'[x). Lorsque l’équation de la courbe /'(a:, y) = o n’est pas résolue, on obtient la dérivée y' de la fonction implicite y à l’aide de l’équation = dans laquelle
et f'^ désignent les dérivées partielles de la fonction f{x, y) par rapport à a: et par rapport à y. On en déduit
(6) IJI — —U.
Ainsi, si l’on désigne par X et Y les cordonnées d’un point quelconque de la tangente, l’équation de cette droite est
(7) V — y=— p^(X — a;), ou (X —a;) f, -H (Y — y )/■',= o.
PBOBLÈME II.
90 — Trouver l'équalion de la langenle au cercle. Appliquons la formule précédente au cercle, et, pour siinpbQcr, supposons les axes rectangulaires et l’origine des coordonnées placées au centre du cercle; le cercle a pour équation
Résolue par rapport à y, l’équation devient y =± — a:*;
en prenant la dérivée de cette fonction, on a
En conservant l’équation non résolue et appliquant la formule
(6), on obtient la même valeur y' =— la tangente est
Ainsi l’équation de
ou x\ + ij\ = -h .
Puisque le point M est sur le cercle, ses coordonnées vériüeut l’équation du cercle, et l’on a x*-\-y* — r*. L’équation delà tangente se simplifie et devient
(8) a;X-4-ÿY = /'*.
Le coefficient angulaire du rayon qui va du centre au point
de contact, étant -» on voit que la tangente est perpendicu-
OC
laire à ce rayon.
PROBLEME ni.
91 — Mener une tangente au cercle par un point extérieur P.
Supposons toujours le cercle rapporté à des axes rectangulaires menés par le centre, et représenté par l’équation
Désignons par x, et y, les coordonnées du point donné P (fig. 57).
Soit PM une tangente menée parce point; laquestion revient à déterminer le point de contact M, dont nous appellerons x et ÿ les coordonnées inconnues. Le point M étant sur le cercle, ses coordonnées vérifient l’équation (9). La tangente au point M a pour équation xX + t/Y= r’.
ï’ig- w- Cette tangente passant par le point P,
son équation doit être vérifiée par tes coordonnées de ce point, ce qui donne la relation
(10) xx,-hyij^=rK
En résolvant les deux équations simultanées (9) et (10), on obtiendra les valeurs des inconnues x et y.
La résolution des deux équations (9) et (10) revient à la recherche des points d’intersection de deux lignes. La première équation représente le cercle proposé; la seconde une ligne
DU CERCLE
droite. Chercher les valeurs de a: et de y qui vérifient à la fois ces deux équations, c’est chercher les points d’intersection de la droite et du cercle. Celte droite coupe le cercle en deux points M et M'; c’est la droite des contacts. On remarque que l’équation (lo) de la droite des contacts a même forme que l’équation (8) de la tangente; seulement, les coordonnées du point de contact sont remplacées par celles du point P.
9* — On sait que, lorsqu’on a deux équations simultanées
a deux inconnues x et y, si l’on remplace l’une d’elles par l’équation mA -t- «B = o, que l’onobtienten ajoutant membre à membre les deux équations proposées, après les avoir multipliées par des nombres arbitraires m et n, on forme un nouveau système d’équations
A=i), »»A-|-nB = (),
équivalent au système proposé. Cela signifie géométriquement que les points d’intersection des deux lignes représentées par les deux équations proposées sont les mêmes que les points d’intersection de l’une d’elles par la troisième ligne.
Nous avons dit que les points de contact M et M' sont donnés l>ar l’intersection du cercle proposé et de la droite des contacts. Enrelrancbant les deux équations (9) et (10) membre à membre, on obtient la nouvelle équation
qui peut remplacer l’équation (10); celle nouvelle équation
représente un cercle; le centre, dont les coordonnées sont ~
et |‘i est le milieu de la droite OP; l’équation ne contenant
pas de terme constant, le cercle passe par l’origine ; on a ainsi le cercle décrit sur la droite OP comme diamètre; les points où ce cercle coupe le cercle proposé sont les points de contact. On retrouve de celte manière la construction de la géométrie élémentaire.
LlVHE 11. CHAPlïRi: II.
PROBLEME IV
93— Mener une tangente parallèle à une droite donnée. Au cercle
on veut mener une tangente parallèle à la droite y — mx, que l’on peut supposer passant par l’origine (fig. 58). Si l’on désigne par X ci y les coordonnées du point de contact M, on sait que le coefficient angulaire de la
tangente est égal à — pour que la
tangente MT soit parallèle à la droite \ donnée, il faut que son coefficient angulaire soit égal à m; on aura donc la
relation = m, ou
Fig. î>8.
' ^ 7tl
D’ailleurs les coordonnées du point M vérifient l’équation du cercle. Ces coordonnées seront donc déterminées par les deux équations simultanées (9) et (i i), et par conséquent, les points de contact M et M' seront donnés par l’intersection du cercle et de la droite que représente l’équation (11); cette droite MM' est un diamètre perpendiculaire à la droite donnée OA.
94— On peut traiter la question d’une autre manière, et ceci nous fournira l’occasion de présenter l’équation de la tangente au cercle sous une forme nouvelle. Proposons-nous d’abord de chercher les points d’intersection d’un cercle x*-l-y*=r’ et d’une droite quelconque y = mx-hk. En éliminant y, on obtient l’équation du second degré x^+{mx-h k)* = r*, ou
(m* -f- 1 ) x’ -4- 2 mkx /,* — j - = o.
Uuand cette équation a ses racines réelles, la droite coupe le cercle en deux points, dont les abscisses sont les racines de réquation. Si les racines deviennent égales entre elles, les deux points d’intersection se confondent, et la sécante devient tan-
DU CERCLE. 81
geôle au cercle. Enfin, quand les racines sont imaginaires, la droite ne rencontre i>as le cercle.
Ainsi, la condition pour que la droite soit tangente au cercle est
m*k* — {m*-\-i)[k* — r*) = o, ou A* = r*(m*-I- 1).
L’équation de la droite, dans laquelle on remplace k par sa valeur, devient
(12) y — mx ±. r slni^ -+- 1 ;
Celte équation, qui renferme un paramètre arbitraire m, représente toutes les tangentes au cercle.
Si l’on donne la direction de la tangente, le coefficient angulaire m étant connu, on a immédiatement les équations des deux tangentes parallèles à la direction donnée.
PROBLÈME V
95 — Trouver le lieu des points do7illes distances à deux points fixes soient entre elles dans un rapport donné.
Soient A et B les deux points donnés (fig. Sq); prenons
pour axes des x la droite AB et pour axe des y la perpendiculaire élev ée sur le milieu de AB. Si l’on
appelle 2a la distance AB, — le
rapport donné, et si l’on désigne [>ar x et y les coordonnées d’un point quelconque du lieu, l’équai'ig- vu. tion de ce lieu sera
ou
(.3) x* + ÿ^-2ajr^^^^.4-a‘ = o.
C’est un cercle dont le centre est situé sur l’axe des x; les deux extrémités du diamètre DE sont les points qui divisent la droite AB dans le rapport de m à «.
BR. <j
,S2 ÜVRE 11, CHAPITRE II.
PROBLEME VI
96 — Trouver les points d’intersection de deux cercles.
Soient
(14) Æ*-f-ÿ’ + Ao'--l-Bi/ + C =ü,
(15) Aa: + B^y-f-C' = o
les équations des deux cercles en coordonnées rectangulaires. Les points d’intersection seront donnés par ces deux équations simultanées. On peut remplacer le second cercle par la droite
(i6) (A — A0®H-(B — B0ÿH-(C — C0 = o,
que l’on obtient en retranchant ces équations membre û membre, et la question est ramenée à la recherche des points d’intersection du premier cercle par cette droite. Si la droite coupe le cercle, les deux cercles auront deux points d’intersection, et l’équation (i6) représentera la sécante commune. Si la droite devient tangente au cercle, les deux points d’intersection se confondent, et les deux cercles sont tangents; l’équation (i6) représente dans ce cas la tangente commune. Enfin, lorsque la droite ne rencontre pas le cercle, les deux cercles n’ont pas de point commun.
Cependant l’équation (i6) a, dans tous les cas, une signification géométrique remarquable. Les premiers membres des équations (i4) et (i5) représentent (n“ 88) les produits des segments des sécantes menées par un point quelconque M du plan ayant pour coordonnées a; et y à travers l’un et l’autre cercle ; or, on obtient l’équation (i6) en égalant ces deux expressions, ce qui fait disparaître les termes du second degré; l’équation (i6) représente donc le lieu des points tels que les produits des segments des sécantes menées de chacun d’eux à l’un et l’autre cercle soient égaux ; ce lieu est une droite que l’on appelle axe radical de deux cercles. La partie de celte droite extérieure aux cercles est le lieu des points d’où les tangentes menées aux deux cercles sont égales entre elles. 11 est clair que les axes radicaux de trois cercles combinés deux à deux passent par un même point; on appelle ce point centre radical des trois courbes.
DU CERCLE
