REPRÉSENTATION DES LIGNES PLANES PAR DES ÉQUATIONS

G— Soit une ligne plane quelconque AB (fig. 7). Traçons dans le plan deux axes OX et OY, et désignons par a; et y les deux coordonnées OP et MP d’un point M quelconque de la ligne ; quand le point M se meut sur la ligne, les deux coordonnées varient simultanément; si l’on donne à l’abscisse Fig. 7. une valeur arbitraire OP, la grandeur

de l’ordonnée correspondante 3IP est parfaitement déterminée et la variation de l’abscisse entraîne celle de l’ordonnée. Ainsi l'ordonnée MP est une fonction de l’abscisse OP; la nature de cette fonction dépend de celle de la ligne. Quand la ligne est définie géométriquement, on conçoit que l’on puisse, de la définition géométrique de la ligne, déduire une équation entre X et y, servant à définir analytiquement la fonction y. L’équation en a: et y que l’on trouve de cette manière s’appelle l’équation de la ligne.

7— Supposons, réciproquement, que l’on donne une équation F(æ, y) = o,

entre deux variables x et y; chaque couple de valeurs réelles de X et y satisfaisant à cette équation détermine un point du plan. Soient x„ et des valeurs réelles de x et y vérifiant l’équation; si l’on fait varier x d’une manière continue à partir de x„ l’une des valeurs de y variera aussi d’une manière continue à partir de y#, et sera, en général, réelle tant que x res-

tera comprise entre certaines limites; le point, dont les coordonnées sont X et y, décrira dans le plan une ligne continue. Ainsi, l'ensemble des solutions réelles d'une équation à deux variables est, en général, figuré par une ligne plane.

8 — Ce que nous venons de dire des coordonnées rectilignes a lieu évidemment dans tout autre système de cordonnées. Dans le système polaire, quand le point M se meut sur la ligne, le rayon vecteur p varie avec l’angle w; c’est une fonction de fo, et la ligne est représentée par une cei’taine équation entre p et w.

9— La représentation des figures par des équations est la base de la Géométrie analytique; elle permet d’appliquer à l’étude des figures les procédés du calcul algébrique. On s’occupe, en Géométrie analytique, de trois questions fondamentales : Quand une figure est définie géométriquement, on cherche son équation; réciproquement, on apprend à construire la figure que représente une équation donnée; enfin, on étudie les relations qui existent entre les propriétés géométriques des figures et les propriétés analytiques des équations.

Les exemples que nous donnons dans le chapitre suivant feront bien comprendre comment on représente les lignes par des équations.