MC MM' MD

M1I~ MG “MK’

Fig. 135.

puisque les deux longueurs MC et MD sont égales, il en résulte que les deux longueurs MH et MK sont aussi égales. Lorsque le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la sécante MM' tend vers une position limite qui est la tangente à l’hyperbole au point .M; en même temps, les cordes M'C et M'D deviennent tangentes aux cercles décrits des foyers comme centres et, par conséquent, perpendiculaires à FM, F'M; leurs parallèles GH, GK prennent aussi des directions perpendiculaires à ces mêmes rayons, et les angles II et K deviennent droits. Les deux triangles MGH, MGK, qui ont un côté MG commun et un côté MH égal MK, deviennent donc rectangles cl. par conséquent, égaux entre eux; il en résulte que les

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20i LIVRE III, CHAPITRE VII.

anf^Ies GMH, GMK deviennent égaux; ainsi la tangente à Phyperbole au point M est bissectrice de l’angle FMF'.

337— Corollaire I. L'byperbole est la seule courbe qui jouisse de cette propriété; car en appelant u et v les rayons MF et MF', Au et Ae leurs variations, on a

Au ~MC ~MH

Si l’on suppose que les angles GMH, GMK deviennent égaux, (|uand le point M' sc rapproche indéfiniment du point M, les deux triangles MGH, MGK deviennent aussi égaux, ainsi que les côtes MH et MK; il en résulte que

lim — = I.

Au

En remontant à la fonction primitive, on a

v = uH-C, d’où V — u = C.

33 S — Corollaire II. Une ellipse et une hyperbole homo focales se coupent à angle droit. On dit que deux courbes du

second degré sont homofocales lorsque leurs foyers coïncident; on appelle angle de deux courbes l’angle de leurs tangentes au point d’intersection. Soit M le point d’intersection d’une ellipse et d’une hyperbole qui ont mêmes foyers F, F' (fig. i36); la Fig. 136. bissectrice MN de l’angle FMF' est

d’une part normale à l’ellipse, d’autre part tangente à l’hyperbole; donc les tangentes MT, MN aux deux courbes sont perpendiculaires eutre elles.

PROBLÈME Y

339 — Mener un tangente à l’hyperbole par un point M donné sur Vhyperbole.

Sur le rayon vecteur MF' [irenons une longueur MH égale à l’autre rayon vecteur MF, et par le point M menons une droite .MT perpendiculaire à FII; nous aurons la tangente demandée (fig- i37).

FOYERS ET DIRECTRICES

Remarque. Il est bon d’observer que la tangente est tout entière située entre les deux branches de l’hyperbole. Soit P un point quelconque de cette tangente, on a

PF — PII <FH, et, par suite,