PF — PF <MF — MF

cette dernière différence étant égale à 2 a,la première est plus petite que 2 a . Considérons maintenant un point N situé à droite de la première branche d’hyperbole; la droite NF' rencontre cette branche en M ; on a

NF<NM-i-MF,

et, en ajoutant de part et d’autre MF',

NF + MF'<NF-4-MF; d’où NF — NF > MF' — MF.

La seconde différence étant égale à 2 a, la première est plus grande que 2a.

Il résulte de là que l’on peut considérer l’hyperbole comme le lieu des points dont la différence des distances aux deux foyers est égale à 2a. C’est sur cette propriété que repose la construction par points ou d’un mouvement continu que nous avons donnée au commencement (n°“ 20 et 21).

235 — Corollaire 11. La distance d'un point quelconque de l’hyperbole au foyer F est égale à l’une des normales menées de ce point au cercle décrit de l’autre foyer F' comme centre avec un rayon égal à l'axe transverse.

Pour un point M de la première branche (fig. i34), on a

M'F = M'F-hFN' = M'N'.

FOYERS ET DIRECTRICES

Dans le premier cas, la portion MN de la normale mesure la distance du point M au cercle et la première branche d’hyperbole est le lieu des points également distants du foyer F et du cercle directeur.

THÉORÈME IV

23© — La tangente à Vhyperhole est bissectrice de l’angle des rayons vecteurs qui vont du point de contact aux deux foyers.

Prenons deux points voisins M et M' sur l’hyperbole (fig. i35). Du foyer F comme centre, avec un rayon égal à FM, décrivons

un arc de cercle qui coupera en C le rayon vecteur FM ; du foyer F' comme centre, avec un rayon égal à F'M', décrivons un arc de cercle qui coupera en D le rayon vecleur F'M; quand on passe du point M au point M^, les deux rayons vecteurs FM, F'M éprouvent des diminutions égales à MC et à MD; puisque la différence est constante, ces deux variations sont égales entre elles.

Sur la sécante MM', prenons une longueur arbitraire MG, et. par le point G, menons GII parallèle à la corde MC et GK parallèle à la corde MD. A cause des parallèles, on a