MC

(les parallèles, on a les rapports égaux ^

Jlll itlCr

(|iie les deuxjongueurs MC et MC' sont égales, les deux long ueurs MH et MK, qui leur sont proportionnelles, sont aussi égales.

Supposons maintenant que le point M' se rapproche indéliniment du i>oint M; la sécante MS tendra vers la tangente MT à la parabole; la corde M'C prolongée tendra de même vers la tangente au cercle, et, par conséquent, deviendra perpendiculaire au rayon FM; la parallèle GH prendra aussi une direction perpendiculaire à FM. On voit par là que les deux triangles .MGH, MGK ont pour limites deux triangles rectangles MGH, MGK fig. 142); ces deux triangles rectangles, ayant l’hypotémise MG commune, et les côtés MH et MK égaux entre eux comme limites de longueurs égales, sont égaux; d’où l’on conclut l’égalité des deux angles GMH, G.MK. Ainsi la tangente MT à la parabole est bissectrice de l’angle FME, formé par le rayon MF et la perpendiculaire ME abaissée du point de contact sur la directrice. Si l’on prolonge EM suivant ML, les deux angles Fig. 142. GMK, T'ML étant égaux comme opposés par le sommet, on voit que les deux angles TMF, T'ML, formés par la tangente, avec le rayon vecteur et la parallèle ML à l’axe, sont égaux.

346— Corollaire I. Supposons qu’une lu- .L mière soit placée au foyer F (fig. i43) de la pa- - rabote; les rayons lumineux, partant du foyer F, se réfiécbissent sur la parabole en faisant un J angle de réflexion égal à l’angle d’incidence. Soit FM l’iin de ces rayons; menons la tangente TT' à la parabole en ce point, le rayon réfléchi, -- devant faire un angle LMT' égal à FMT, sera Fig 143 parallèle à l’axe AB de la parabole. Ainsi tous les rayons réfléchis seront parallèles à l’axe.

C’est d’après ce principe que l’on construit les réflecteurs employés dans les réverbères et les lanternes des voitures. La surface intérieure, en métal bien poli, est engendrée par une parabole tournant autour de son axe; la lumière est placée au foyer; les rayons lumineux, après leur réflexion* devenant tous parallèles à l’axe, le réflecteur projette un faisceau de rayons parallèles qui se propagent sans se disperser et qui éclairent à une grande distance.

Corollaire 11. Supposons au contraire que des rayons lumineux, parallèles à l’axe, tombent sur un miroir parabolique; après leur réflexion, ils iront tons converger au foyer.

On emploie les miroirs paraboliques dans la construction des télescopes; Taxe est dirigé vers l’astre; les rayons lumineux venant de l’astre se réfléchissent sur le miroir, et forment au foyer une image très-brillante de l’astre.

On emploie aussi la forme parabolique dans la construction des porte-voix et des cornets acoustiques.

247 — Corollaire III. Réciproquement, la parabole est la seule courbe qui jouisse de cette propriété : que la tangente en chacun de scs points fasse des angles égaux avec la parallèle à une droite fixe et le rayon vecteur mené d’un point fixe au point de contact. Imaginons que chacun des points M du plan soit déterminé par sa distance MF au point fixe F, et sa distance ME à une droite DE perpendiculaire à la droite fixe FB (fig. i4i) j désignons par u et v ces deux coordonnées." Quand on passe du point M de la courbe au point voisin M', ces (leux coordonnées éprouvent des variations A«= — MC, Au = — MC', et l’on a

^ MC'MK Am “MC ~MH’

Quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la droite M'M devient tangente et l’angle H devient droit. Les deux triangles rectangles limites GMII, GMK (fig. 142) sont égaux, comme ayant l’hypoténuse commune et l’angle GMH égal à GMK par hypothèse. On a donc

FOYERS ET DIRECTRICES. 2H

et en remontant à la fonction primitive « = m + C. En déplaçant la droite DE d"une quantité égale à la constante C^ on aura v = u.

PROBLÈME IX

— Mener une tangente par un point M donné sur la parabole.

Première méthode. Soit T (fig. i44) le point où la tangente rencontre le prolongement de l’axe, ME la perpendiculaire abaissée du point M sur la directrice. On sait que la tangente est bissectrice de l’angle FME; l’angle FTM étant égal à l’angle alterne- interne TME et, par suite, à l’angle FMT, il en résulte que le triangle TFM est isocèle, et les deux cotés FM et FT égaux entre eux.

Fig. 144. Ainsi, pour construire la tangente au

point M, il suffit de porter sur l’axe une longueur FT égale au rayon vecteur FM et de joindre TM.

Celte méthode ne convient pas quand le point M est trèsvoisin du sommet A de la parabole, parce que les deux points M et T, étant alors très-rapprochés l’un de l’autre, ne déterminent pas la tangente avec une assez grande précision. Dans ce cas, on emploiera de préférence la méthode suivante.

Decxième méthode. La tangente MT, divisant en deux parties égales l’angle au sommet M du triangle isocèle FME, est perpendiculaire sur le milieu de la base FE.

Ainsi, pour construire la tangente, il suffit d’abaisser du point M une perpendiculaire ME sur la directrice, et de mener du point M une perpendiculaire sur la droite FE.

11 résulte de cette construction que la tangente au sommet A de la parabole est perpendiculaire à l’axe de la parabole.

Remarql'e. Il est bon d’observer que tous les points de la tangente, excepté le point de contact M, sont situés à l’extérieur de la parabole. Soit P uu point quelconque de la tangente; la tangente étant perpendiculaire sur le milieu de FE, les distances PF, PE sont égales ; mais l’oblique PE est plus

grande que la perpendiculaire PK; donc la distance PF est plus grande que PK, et, par suite, le point P est à l’extérieur de la parabole. 11 en résulte que la parabole est une courbe convexe.

*49— COROLLAIKE. Le lieu des projections du foyer sur la tangente à la parabole est la tangente au sommet. On voit, en effet, que le point I, milieu de FE et projection du foyer sur la tangente, se trouve sur la parallèle à la directrice menée par le point A, milieu de FD. c’est-à-dire sur la tangente au sommet A.

PROBLÈME X

250— Mener une tangente à la parabole par un point extérieur P.

Supposons le problème résolu et soit PM (flg. i45) une tangente passant par le point P. Si 1 on abaisse du point M une perpendiculaire ME sur la directrice et si l’on joint FE, on sait que la

tangente PM est perpendiculaire sur le milieu de FE; il en résulte que la distance PE est égale à PF, et l’on en déduit la construction suivante.

Du point P comme centre, avec un rayon J,. JJ. égal à la distance PF de ce point au foyer,

décrivons un cercle qui coupera la directrice au point E. Joignons FE, et du point P menons une perpendiculaire sur la droite FE,’ nous aurons la tangente demandée. Le point de contact M sera déterminé par l’intersection de la tangente avec une parallèle à l’axe menée par le point E.

Le cercle coupe la directrice en un second point E'. On mènera de même du point P une perpendiculaire sur FE' et l’on

aura une seconde tangente PM'.

Ces constructions peuvent être effectuées sans que la parabole soit tracée. Il suffit que l’on connaisse le foyer et la directrice.

PROBLÈME XI

25^1 Mener à la parabole une tangente parallèle à une

droite donnée KL.

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FOYERS ET DIRECTRICES. 213

Supposons le problème résolu et soit MT la tangente demandée (fig. 14C). Si du point de contact M on abaisse une perpendiculaire ME sur la directrice et que l’on joigne FE, on sait que la tangente est perpendiculaire sur le milieu de FE. On en déduit la construction suivante :

Du foyer F abaissons une perpendiculaire sur la droite donnée KL jusqu’à sa rencontre avec la directrice en E, et sur le milieu de FE élevons une perpendiculaire Fig. 146. MT, nous aurons la tangente demandée.

On déterminera le point de contact M en menant par le point E une parallèle EM à l’axe.

PROBLÈME \II

258 — Trouver les points de rencontre d'une droite donnée et d'une parabole définie par son foyer cl sa directrice.

Prenons le point F, symétrique du foyer par rapport à la droite donnée (fig. i4")- Le point M étant également distant des points F, F, et de la directrice, est le centre d’un cercle passant par ces deux points cl tangent à la directrice. Pour avoir le point de contact E, on porte sur la directrice, à partir du point I, une longueur lE moyenne proportionnelle entre les deux longueurs IF, IF,. On obtiendra les deux solutions M et M' en portant sur lu directrice, à partir du point I, la longueur lE dans un sens et dans l’autre.

Lorsque le point F,, symétrique du foyer par rapport à la droite donnée, est situé à droite de la directrice, il y a effectiremenl deux solutions. Lorsque le point F, est sur la directrice, la droite est tangente à la parabole. Enfin, quand le point F, est à gauche de la directrice, la droite ne rencontre pas la parabole.

TnÉORÈME VII.

253 — La limite d’une ellipse ou d'une hyperbole dont le

oaramêlre conserve une valeur finie, tandis que le grand axe ou l’axe transverse augmente indéfiniment, est une parabole.

Nous avons vu que, dans la parabole, l’ordonnée du foyer est égale au paramètre p; par analogie, on appelle paramètre d’une ellipse ou d’une hyperbole l’ordonnée du foyer qui est 6*

égale à — » et on désigné ce paramètre par p. L’ellipse, rapportée à son grand axe et à la tangente au sommet (Gg. 148), a une équation de la forme

)/' — — X -x', ou w’=2px — -X*.

Supposons maintenant que le sommet A restant Gxe, et le paramètre p conservant une valeur finie, on fasse augmenter le grand axe 2a indéfiniment, l’équation de l’ellipse se réduit à l’équation y' — ipx, qui représente une parabole. Si l’on considère les points qui correspondent à une même valeur de X, on voit que chaque point de la parabole est la position limite vers laquelle tend e point correspondant de l’ellipse, quand on fait augmenter a indéGniment ; ce qu’on énonce en disant que la parabole est la limite de l’ellipse.

L’hyperbole, rapportée à son axe transverse et à la tangente au sommet A, a de même pour équation

y*z=-ipx-h ^ x^;

si l’on fait augmenter o indéGniment, le paramètre p, conservant une valeur Gnie, cette équation se réduit aussi à

y* = 2 px.

La parabole est la limite de la branche d’hyperbole à laquelle appartient le sommet A; l’autre branche s’est éloignée indéGniment vers la gauche.

FOYERS ET DIRECTRICES

Dans ce qui précède nous avons supposé que le paramètre de l’ellipse ou de l’hyperbole conserve une valeur finie. On arrive à la même conclusion, en supposant que la distance AF du sommet A au foyer voisin F conserve une valeur finie. En effet, en appelant a cette distance, on a, dans l’ellipse, c = a — a et, par suite,

le paramètre p ayant pour limite la quantité finie aa, l’équation de l’ellipse se réduit à y’ = 4aaî. Il en est de même pour l’hyperbole.

854— Remarque. Celte transformation de l’ellipse en parabole a une grande importance. Elle permet de déduire des propriétés de l’ellipse celles de la parabole comme cas particuliers. Ainsi nous avons vu que dans l’ellipse le diamètre, ou le lieu des milieu.x d’une série de cordes parallèles, est une droite passant par le centre; si l’on suppose que le centre s’éloigne à l’infini, l’ellipse se change en parabole, et les diamètres deviennent parallèles à l’axe.

L’ellipse est le lieu des points également distants du foyer F et du cercle directeur décrit du foyer F' comme centre. Le foyer F' s’éloignant à l’infini, le cercle directeur devient la directrice de la parabole.

La tangente à l’ellipse fait des angles égaux avec les rayons vecteurs qui vont du point de contact M aux deux foyers; le foyer F^ s’éloignant à l’infini, le rayon vecteur MF' devient parallèle à l’axe.

THÉORÈME vin.

255— .Çi Von mène deux langcnles à une courbe du second degré, la droite FP qui ra du foyer F au point de concours P des deux tangentes est bissectrice de l’angle des rayons vecteurs FM, F.M', qui vont de ce foyer aux points de contact des deux tangentes, ou de l’angle extérieur, suivant que les deux tangentes touchent une même branche de courbe, ou deux branches différentes.

Considérons deux tangentes PM, PM' à une ellipse (fig. 149);

21« LIVIIK II!, CHAPITRE VH.

prolongeons le rayon F'M d’une longueur MH égale à MF, et de même FM' d’une longueur M' H' égale à M'F'; les tangentes

étant perpendiculaires sur les milieux de FH et de F'H', on a PH = PF et PH' = PF,

cl les deux triangles F' PH, H' PF sont égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun, savoir : F'H = FH'=2a, PH = PF, Fig. 119. PF' = PH'; on en conclut que les

angles PIl.M, PFM' sont égaux ; mais l’angle PH.M est égal à PFM; donc les angles PFM, PFM' sont égaux et la droite FP est bissectrice de l’angle MFM'.

La même chose a lieu dans l’hyperbole, quand les deux tangentes touchent une même branche; mais quand les tangentes touchent deux branches différentes, la droite FP est bissectrice de l’angle formé par l’un des rayons vecteurs FM, et le prolongement de l’autre.

Examinons maintenant le cas où la courbe est une parabole (fig. I jo). Des points de contact abaissons des perpendiculaires

MH, M'IF sur la directrice; les tangentes étant perpendiculaires sur les milieux des droites FH, FIF, les angles PFM, PFM' sont égaux respectivement aux angles PHM, PH'M'. Les droites PH et PIF, égales à la droite PF, sont égales entre elles, et le triangle HPH' est isocèle. Les angles PHM, PIFM', complémentaires des angles égaux du triangle isocèle, sont égaux entre eux; donc les angles PFM, PFM' sont égaux. C’est ce que l’on peut d’ailleurs conclure immédiatement en regardant la parabole comme la limite d’une ellipse.

THÉORÈME IX

!856— Les tangentes menées d'un point extérieur P a une

FOYERS ET DIRECTRICES. 217

ellipse ou à une hyperbole font des angles égaux avec les droites qui joignent ces points aux deux foyers.

Dans les deux triangles égaux F' PH, H' PF (fig. 149), on a les angles égaux F' PH, H' PF; en retranchant la partie commune F' PF, on a FPH=F'PH', et, en prenant la moitié, FPM=F'PRF.

La même propriété subsiste dans la parabole, limite d'une ellipse; il. suffit de remplacer le rayon vecteur PF' par une droite PI parallèle à l’axe (fig. i5o). Il est facile de démontrer directement cette propriété : si du point P comme centre, avec un rayon égal à PF, on décrit un cercle, ce cercle passera par les points H et H'; les angles MPI, FHH' sont égaux comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires; mais l’angle inscrit FHH' est moitié de l’angle au centre FPH' et, par conséquent, égal à l’angle FPM'; donc les angles MPI, M'PF sont égaux.

TIIÊORÈHE X.

2Ü7 — La droite FK, qui joint le foyer d’une courbe du second degré au point où une sécante quelconque rencontre la directrice, est bissectrice de l’angle extérieur des rayons vecteurs allant du foyer aux points où la sécante coupe la courbe, ou bissectrice de l'angle même des rayons vecteurs, suivant que les deux points d’intersection M et M' sont situés sur la même branche de la courbe ou sur deux branches différentes.

Des points M et M' abaissons des perpendiculaires sur la

directrice (fig. i5i); on a