MF M'F ME~M'E

et, par suite,

MF ME MK M'F“M' E'“M K

Fig. 151. Lorsque les deux points M et M' ap-

partiennent à une même branche de la courbe, le point K étant situé sur le prolongement de la corde. MM', la droite FK est bissectrice de l’angle extérieur au triangle MFM'. Lorsque les points M et M' appartiennent à deux branches différentes, le

point K étant situé entre les points M et M', la droite FK est bissectrice de l’angle MFM'.

Corollaire. Si l’on mène des tangentes à la courbe aux points M et JP, et que l’on joigne le foyer F au point de concours P de ces tangentes, les deux droites FK, FP, étant les bissectrices de deux angles supplémentaires, sont perpendiculaires entre elles.

THÉORÈME XI

358— par un point P pris sur la directrice, on mène des tangentes à une courbe du second degré, la droite des contacts JIJF passe par le foyer correspondant F et est perpendiculaire à la droite FP qui joint le point P au foyer (fig. iSa).

Imaginons que la tangente PJI soit la limite d’une sécante dont les deux points d’intersection se sont réunis en un seul; en vertu du théorème Fig. précédent, la droite FP est perpen-

diculaire à FM; elle est de même perpendiculaire à FJV; donc la ligne MFM' est droite et [lerpendiculaire à FP.

THÉORÈME XII

359 — Le produit des distances des deux foyers à une tangente quelconque de Vellipse ou de l’hyperbole est constant.

Soient FH, F' H' les perpendiculaires abaissées des foyers sur une première tangente (fig. i53); FK, F' K' les perpendiculaires abaissées sur une seconde tangente, P le point de rencontre des deux tangentes.

En vertu du théorème IX, les triangles rectangles FPH, F'PK' sont semblables, ainsi que les triangles FPK, F PIF, et l’on a

FII FP FK .

FK'~F'P~FIF’

J’où Fil X F H' = FK X F K'.

FOYERS ET DIRECTRICES

Si la courbe est une ellipse, en menant la tangente parallèle au grand axe, on voit que le produit constant est égal à b*. Quand la courbe est une hyperbole, si l’on considère l’asymptote comme limite d’une tangente, on voit aussi que le produit est égal à 6*.

PROBLÈME XIII

990— Construire une courbe du second degré, connaissant le foyer F, et trois points A, B, C.

Supposons le problème résolu et les trois points appartenant à une même branche; le point D où la sécante AB est coupée par la bissectrice de l’angle extérieur au triangle AFB appartient à la directrice (n° 257); la sécante BC donnera de même un second point IV de la directrice. Le foyer F, la directrice I Diy et le point A définissent une courbe du second degré et une seule ; ce sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que la distance AF sera inférieure, égale ou supérieure à la distance AE du point A à la directrice. Il est facile de voir que cette courbe passera par les deux points B et C; en effet, à cause de la bissectrice FD, on a

et, par suite.