GN^M DP “ AD ~ AA

Ainsi les distances de chacun des points de l’ellipse au foyer F et à la droite DE sont entre elles comme la distance des foyers au grand axe. Celle droite DE est une directrice de l’ellipse; la droite D'E' est la seconde directrice.

2** Lorsque la droite AA! rencontre les deux génératrices SG et SU de part et d’autre du sommet (fig. i6i), on a

MP — MF = ML' — Ml. = UJ = GG',

La différence des distances de chacun des points de la courbe aux

deux points F et F' est constante; cette courbe est une hyperbole qui a pour foyers les deux points F et F'. Les droites d'intersection du plan sécant et des plans de contact sont de même les directrices de l’iiyperbole.

3“ Supposons enfin que la droite AA! soit parallèle à l'arrête SH (lig. 162); décrivons une sphère tangente au cône suivant le cercle GH et au plan sécant en F. Soit DG l’intersection du plan sécant avec le pian du cercle de contact GH. Par le point M de la section^ n.enons la droite ME perpendiculaire à DE, et la génératrice S.M, qui rencontre en L la courbe de contact; la droite ME sera parallèle à AA' et à SH; donc les trois droites ME, SM, SH sont dans un même plan, et les trois points H, L, £ sur la droite d’intersection du plan de contact et du plan précé- Fig. 162. dent. Les deux triangles MLE, HSL

sont semblables, et puisque SL = S1I on a aussi ML = ME; mais ML = MF, comme tangentes jpenées du point M à la sphère; par conséquent, MF = ME. Ainsi la courbe est une parabole dont le point F est le foyer et DE la directrice.

Celte méthode si élégante, pour trouver les propriétés des foyers et des directrices dans les courbes du second degré, est duc à Dandelin.

SECHONS CONIQUES. «l

9er— Placer une courbe du second degré sur un cône donné. — I® La courbe est une ellipse. Dans le triangle AA'K (flg. i6o), on connaît deux côtés AA', AK, qui sont le grand axe et !a distance des foyers, ainsi que l’angle opposé à AA' qui est le complément de la moitié de l'angle au sommet du cône. Comme le grand axe surpasse la distance focale, on peut toujours construire ce triangle; la perpendiculaire sur le milieu de A' K détermine le point S, et par suite, tout ce qui fixe la position du plan sécant.

2® La courbe est une hyperbole. Dans le triangle AA'K (fig. i6i), on connaît également deux côtés, ainsi que l’angle opposé àTund’eux; mais comme le côté opposé à l’angle donné est le plus petit, la construction du triangle n’est pas toujours possible. Il faut que l’on ait a > ccosy (2 a étant l’axe transverse, 2c la distance des foyers de l’hyperbole, 2y l’angle

au sommet du cône); d’où cosy < ^» et, par suite, cos y < cosô,

en appelant 0 l’angle de l’asymptote avec le grand axe; donc l’angle des asymptotes doit être plus petit que l’angle du cône.

3® La courbe donnée est une parabole. En joignant le centre Ode la sphère au point G, on forme un triangle rectangle OGA (fig. 162), dans lequel on connaît le côté AG qui est le demiparamètre de la parabole, et l’angle OAG complémentaire de y. Après avoir construit ce triangle, on élèvera OS perpendiculaire sur OA jusqu’à la rencontre de AG; une fois connue la distance SA, le problème est résolu.

En résumé, sur un cône donné on peut placer toutes les ellipses, toutes les paraboles et toutes les hyperboles dans lesquelles l’angle des asymptotes est plus petit que l’angle du cône.

S68 — Remarqle. Supposons que les sphères employées précédemment soient toujours inscrites dans le cône, mais coupent le plan sécant; il suffit pour cela que les cercles générateurs soient tangents aux deux lignes SA, SA' et coupent AA'; les intersections des sphères par le plan sécant sont des cercles, et l’on verra, dans le cas de l’ellipse ou de l’hyperbole, que la somme ou la différence des tangentes menées à ces

cercles d’un point quelconque de la courbe est constante; dan* le cas de la parabole, la tangente menée au cercle d’un point quelconque de la courbe est égale à la distance de ce point à une certaine droite.

Les géomètres grecs connaissaient les courbes du second degré comme sections d’un cône à base circulaire par un plan. Apoixosils (247 ans avant J. C.) a fait sur les sections coniques un traité en huit livres, dans lequel il rapporte ce qui a été trouvé avant lui, et expose ses propres découvertes sur cette matière. Le traité d’ApoLLONius contient les principales propriétés des sections coniques; nous citerons les deux théorèmes sur les diamètres conjugués (n°* 162, i63 et ipS), les propriétés des asymptotes de l’hyperbole, les propriétés élémentaires des foyers.