CHAPITRE IX
Théorèmes géoéranx snr les sections coniqnes.
200 — L’équation générale du second degré
A a:* 4- B ary -f- C -1- D a: -H E y -t- F = O ,
contient six coefficients; mais, comme on peut diviser tous les termes par l’un des coefficients, pourvu que ce coefficient soit différent de zéro, on voit que l’équation ne renferme que cinq paramètres arbitraires, savoir les rapports de cinq coefficients an sixième. Pour déterminer une courbe du second degré, il faut donner les valeurs des cinq paramètres, ou bien cinq relations entre ces cinq paramètres; mais, dans ce cas, il est nécessaire d’examiner si les cinq équations de condition admettent un système de solutions réelles, et si, en outre, l’équation du second degré correspondante représente bien une courbe ; autant les cinq équations de condition admettront de systèmes de solutions réelles jouissant de cette propriété, autant il y aura de courbes du second degré satisfaisant aux conditions proposées.
En général, les relations entre les paramètres proviennent de conditions géométriques auxquelles doit satisfaire la courbe. Ainsi on peut assujettir la courbe à passer par des points donnés, à être tangente à des droites données, etc. On exprimera que la courbe passe par un point donné, en écrivant que les coordonnées du point vérifient l’équation de la courbe, ce qui donne une relation entre les coefficients. On exprimera que la courbe est tangente à une droite donnée, en écrivant que l’équation qui fournit les abscisses des points d’intersection de la courbe et de la droite a deux racines égales, ce qui donne aussi une relation entre les coefficients. Une condition géométrique qui se traduit par une relation entre les coefficients est regardée comme une condition simple. Une condition géométrique qui se traduirait par deux relations serait regardée comme double; si, par exemple, on assujettissait la courbe à toucher une droite donnée en un point donné, l’équation qui donnerait les abscisses des points d’intersection devant admettre une racine double donnée, il en résulterait deux relations entre les coefficients; la condition géométrique énoncée devrait donc compter comme deux conditions simples. D’après cela, on dira qu’il faut cinq conditions géométriques pour déterminer une courbe du second degré. Mais, comme nous l’avons déjà fait observer, il sera nécessaire d’examiner si les cinq équations admettent une solution réelle.
Si l’on veut que la courbe soit une parabole, les coefficients doivent vérifier la relation B’ — 4AC = o; l’équation ne contenant plus que quatre paramètres arbitraires, la parabole sera définie par quatre conditions.
De même, si l’on veut que la courbe soit une hyperbole équilatère, il faudra que les deux droites représentées par l’équation Aæ’-t- Bxy -I- Cÿ* = o, droites parallèles aux asymptotes (n® i3o), soient perpendiculaires entre elles; ce qui donne une relation entre les coefficients; lorsque les axes des coordonnées sont rectangulaires, cette relation est A 4- G = o. Quatre conditions suffisent donc pour déterminer une hyperbole équilatère.
Avant d’aller plus loin, il est bon de généraliser les défini-
lions, afin d’éviter les restrictions qu’apporteraient jlans les énonces des théorèmes les solutions imaginaires.
POINTS IMAGINAIKES.
2fO — Un système de valeurs réelles de x et de j/ détermine un point du pian; par analogie, nous appellerons point imaginaire un système de valeurs imaginaires attribuées à x ety. Si deux systèmes de valeurs imaginaires sont de la forme x = a-hbi, y = c-i- di, x = a — bi, y = c — di, nous dirons que les deux points imaginaires sont conjugués.
Une équation du premier degré Ax-l-By-l-C = o à coefficients réels est vérifiée par les coordonnées d’une infinité de pmnts réels, dont le lieu est une ligne droite; mais elle est vérifiée aussi par une infinité de systèmes de valeurs imaginaires attribuées à a; et à y; car, si l’on attribue à x une valeur imaginaire quelconque, on en déduira pour y une valeur imaginaire correspondante. Si l’on attribue à x deux valeurs imaginaires conjuguées, les deux valeurs correspondantes dey seront aussi conjuguées.
Par analogie, nous appellerons droite imaginaire l’ensemble des solutions d’une équation du premier degré à coefficients imaginaires. Il est à remarquer qu’une droite imaginaire passe par un point réel. Soit, en effet,
(A' -H A"i) a; + (B' + B" i) y + {C' + C"i) = o, ou (A' a; -i- B' ÿ -t- C’) -f- 1 (A" a: -h B" y -H C") = o,
une droite imaginaire. Cette équation sera vérifiée par les coordonnées du point d’intersection des deux droites réelles A'a;-+-B'y-^C' = o, A"a;4-B"y-l-C"=o.
L’équation générale du premier degré, renfermant trois coefficients et par suite deux paramètres arbitraires, deux points, réels ou imaginaires, détermineront la droite. Si l’on appelle y" Jcs coordonnées des deux points donnés, la droite qui passe par ces deux points aura pour équation
La droite qui passe par deux points imaginaires conjugués,
estréelle. Soient, en effet, æ'= a 4-61, i/=c-hdi, x"=a — bi, y" = c — di; l'équation de la droite se réduit à
Le point qqi a pour coordonnées
sera dit le milieu de la droite qui joint les deux points donnés; si les deux points sont imaginaires conjugués, le milieu sera un point réel.
Une équation algébrique f[x, y) = o à coefficients réels est vérifiée en général par les coordonnées d’une infinité de points réels formant une courbe ; elle est vérifiée aussi par les coordonnées d’une infinité de points imaginaires, conjugués deux à deux. Si les coefficients sont imaginaires, l’équation admet toujours une infinité de solutions imaginaires, mais seulement un nombre limité de solutions réelles.
Deux équations, l’une du premier degré, l’autre du second degré en x et y, admettent deux systèmes de solutions. On dira donc qu’une droite rencontre une courbe du second degré en deux points, réels ou imaginaires. Une droite réelle rencontre une courbe du second degré réelle en deux points, qui sont ou réels, ou imaginaires conjugués. Ceci permet d’expliquer un fait qui s’est présenté déjà plusieurs fois ; quand on cherche, par exemple, le lieu des milieux d’une série de cordes parallèles dans l’ellipse, on trouve par le calcul une droite indéfinie, et cependant le lieu, tel qu’il est défini géométriquement, ne se compose que de la partie du diamètre intérieure à l’ellipse; les sécantes extérieures rencontrent l’ellipse en deux points imaginaires conjugués, le milieu de la corde est encore un point réel, et le diamètre se prolonge ainsi en dehors de la courbe.
TUÉORÉME I.
97t. — Deux courbes du second degré ont, en général, quatre points communs.
Nous remarquerons d’abord que si les deux courbes coïnci-
dent, c’est-à-dire si les deux équations sont vérifiées par les mêmes systèmes de valeurs des variables x et y, les coefficients sont proportionnels. En effet, les équations ordonnées par rapport à y,
(1) C y*-i-(B Æ-f-E)y-+- (A aj’-t-D aî-l-F) = o,
(2) C' y ’ -H (B' ic -H EO y -f- ( A' a:* + ly a: -t- F') = O admettant les mêmes racines pour une même valeur de x, on a
C Ba?-t“E A Da! -f- F
et, comme ceci doit avoir lieu quelle que soit a;, on en conclut
C B E A D F C' “ B' “ E' — A' “ ly — P*
La réciproque est vraie : lorsque les coefficients sont proportionnels, les deux équations sont évidemment identiques et les deux courbes coïncident.
Nous supposerons dans ce qui suit les courbes différentes, c’est-à-dire les coefficients non proportionnels. Considérons d’abord le cas où les coefficients C et C' sont différents de zéro; si l’on retranche les équations membre à membre après les avoir multipliées respectivement par et C, on élimine y* et l’on obtient une équation de la forme
(3) (B,a:-i-E,)y-|-(A,a;’-HD,x-l-F,) = o,
qui, avec l’équation (i), forme un système équivalent au système des deux équations proposées (i) et (2). Les cinq coefficients Bj, E„ A„ D„ F, ne peuvent être nuis à la fois; car si cela avait lieu, les coefficients des deux équations (i) et (2) seraient proportionnels. Si les deux coefficients B, et E, étaient nuis, l’équation (3) deviendrait A,a:’-t-D,a;-|-F, = o; elle donnerait pour X deux valeurs; à chacune d’elles, d’après l’équation (i), correspondraient deux valeurs dey; en tout quatre solutions. Supposons que les deux coefficients B^ et E, ne soient
pas nuis à la fois; en général, la valeur x—— 5-' qui annule le coefficient de y dans l’équation (3) n’annule pas le polynôme
A,x*-hD,a:-t-F,; dans ce cas, la quantité R,a:-t-E, étant différente de zéro pour toutes les solutions de l’équation (3), on peut mettre cette équation sous la forme
y=- ■ b,Uê;- • ’
en portant cette -valeur de y dans l’équation (i), on obtient une équation du quatrième degré
(4) a,ar*4-o,a:*-+-a,a;*4-a,a:-t-a4=o,
qui, jointe à l’équation (3), forme un système équiv'alent au système des deux équations (i) et (3), et, par conséquent, au système proposé. Les cinq coefficients de l’équation (4) ne peuvent être nuis à la fois; car, si cela avait lieu, l’équation (4) devenant une identité, les deux équations proposées seraient identiques. L’équation (4) donne quatre valeurs de x; à chacune d’elles correspond, d’après l’équation (3), une valeur de y, ce qui fait quatre solutions du système proposé. Si la valeur E
x= — g-* annulait le polynôme A,a;*-f-D,a:4-F,, l’équation (3) se mettrait sous la forme
(R, a; -f- E,) [y + mx + n)T= o,
et se décomposerait en deux équations distinctes, R, a; -|- E, = o,
ÿ-f-ma;4-n = o; la première donne la valeur a:=— ô-‘» à
laquelle, d’après l’équation (i), correspondent deux valeurs de x; de la seconde on déduit y= — mx — n, et, remplaçant y par cette valeur dans l’équation (i), on obtient une équation du second degré en x, qui fournit deux nouvelles solutions; en tout quatre solutions. Cependant il peut arriver que cette dernière équation du second degré en x se réduise à une identité; dans ce cas, les coordonnées de tous les points de la droite y + mx -f- n = o vérifient les deux équations proposées, qui représentent alors des couples de droites, dont deux coïncident.
Si un seul des coefficients C ou C' était nul, l’une des équations proposées serait de la forme (3) et on répéterait ce qui vient d’être dit.
Considérons maintenant le cas où les deux coefficients C et C'
sont nuis. Si la valeur x =— g; qui annule le coelficienl de y
dans l’équation (2) n’annule pas le polynôme A' ic’ -h IV a; 4- F', on déduira de cette équation
A'æ’-HD'æ-I-F'
et, substituant dans l’équation (i), on arrivera à une équation du troisième degré en x, ce qui donne trois solutions. Si la E'
valeur x =— g-, annule le polynôme A'x*+ ly x 4- F', l’équation (2) se met sous 1a forme
(B^x 4- E') (y 4- mx -+- n) = o,
et représente deux droites B'x 4- E' = o, y 4- mx n = o qui
coupent la courbe (i), la première en un point, la seconde en deux points. Il peut arriver que l’une de ces droites appartienne à la ligne (i); dans ce cas, les équations proposées représentent des couples de droites, dont deux coïncident.
On conclut de ce qui précède, que deux lignes du second degré ne peuvent avoir plus de quatre points communs, à moins que ces lignes ne soient des couples de droites, dont deux coïncident. Lorsque tes deux équations proposées ont leurs coefflcienis réels, les quatre points communs sont réels ou imaginaires conjugués.
— Il est facile de former l’équation (4) qui donne les abscisses des quatre points communs à deux courbes du second degré. Soient Ajÿ’4- A,y4-A, = o, A„'y’4- A(y4-Aj'=o, les deux équations proposées, dans lesquelles A„ et A# désignent des constantes. A, et A{ des polynômes du premier degré en x. A, et AJ des polynômes du second degré. En retranchant ces équations membre à membre, après les avoir multipliées respectivement par Ag et A,, on a
En multipliant par A, et A|, retranchant et supprimant le fac*
THÉORÈMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. 239 leur y, on a de même
(Aj — Ai A,) ÿ -H (AjAj' — Ai A,) = O.
I/éHminatièTf de y entre ees denx dernières équations conduit à f équation du qnatrième degré
(A.A{ - Ai A,) (A. Ai -=■- A'A.) (A. Ai - AiA.)*=o.
if3 — Corollaire. Une équation du second degré à coefficients imaginaires ne peut admettre plus de quatre solutions réelles. En effet, le premier membre de l’équation est de la forme S-M'S^, S et S, désignant des polynômes réels du second degré; si l’équation est vérifiée par des valeurs réelles attribuées à â; et à on aura séparément S = o, S, = o; les points réels du lieu sont les points communs aüx deux courbes réelles S = o, S, = o.
THÉORÈME II
27â — Par cinq points donnés, on peut faire passer une courbe du second degré, et on n'en peut faire passer qu’une.
Soit Aæ’ -1- Bxy-f-Cy*+ ÜÆ-t-Ey -+- F = o l’équation générale des courbes du second degré; si l’on désigne par o/ et y' les coordonnées de l’un des points, on aura cinq relations de la forme
Ax'*-t- Bx'ÿ' -f- Cy'*-hDa^-f-Ey'-+- F =o
entre les rapports de cinq coefficients au sixième. Les équalioBS, étintdu premier degré, admettent en général une solution et »ne seule; cependant il faudrait examiner s’il n’y a pas des cas d’impossibilité. La méthode que nous suivrons nous permettra d’éviter cette discussion compliquée.
Supposons d’abord que, parmi les cinq points donnés a, b, e, d, e, trois ne soient pas en ligne dtoite (fig. i63). Les quatre premiers points sont les sommets d’un quadrilatère abed. Désignons, pour abréger; par a = o, p = o les équations de deux côtés opposés ab et cd, par y = o, S = o celles de deux autres côtés opposés bc et da. Considérons l’équation (5) ap — A*y5 = o,
qui renferme un paramètre arbitraire k. Les lettres a, p, y, o
désignant des polynômes du premier degré en x et y, Téqua-
tion est du second degré; les coordonnées du point a, intersection des droites ab et ad, annulent les deux polynômes a et S, et, par conséquent, vérifient l’équation (5) ; il en est de même des trois autres points b, c, d. Ainsi la courbe représentée par l’équation (5) passe par les quatre points a, b, c, d. On peut déterminer le paramètre k de manière que la courbe passe par le cinquième point e.
Appelons a', y' S' les valeurs des polynômes a, p, y. S, quand on y remplace x et ÿ par les coordonnées a/ et ÿ' du point e; on
devra avoir a' P'— Ay' S' =o; d’où k = En attribuant à A
cette valeur, on obtient une courbe du second degré passant par les cinq points donnés.
Nous avons trouvé une courbe du second degré passant par les cinq points donnés. Il n’en existe pas d’autre; en effet, des cinq points donnés, trois n’étant pas en ligne droite, une ligne du second degré passant par ces cinq points, ne pourra se réduire à deux droites; mais nous avons vu que deux courbes du second degré non formées de lignes droites ont au plus quatre points communs.
Supposons que, parmi les cinq points donnés, trois c, d, e soient en ligne droite; la droite cde, ayant trois points communs avec le lieu, appartiendra au lieu qui se composera alors de la droite cde et d’une seconde droite passant par les deux autres points o et b. L’équation du lieu sera ap = o; on l’obtient en faisant k = o dans l’équation précédente.
Lorsque, parmi les cinq points donnés, quatre sont situés sur une même droite, il y a indétermination. Le lieu se composera de celte droite, et d’une droite quelconque passant par le cinquième point.
5— Corollaire I. L’équation a^ — AyS = o, dans laquelle k désigne un paramètre arbitraire, représente toutes les courbes du second degré qui passent par les quatre points
a, b, c, d; car un cinquième point déterminerait la courbe et on peut toujours donner au paramètre k une valeur telle que la courbe passe par ce cinquième point.
Comme on peut supposer que les lettres a, p, y, S désignent les distances d'un point quelconque ayant pour coordonnées x
aS
ety aux côtés du quadrilatère, l’équation ;^ = A: signifie que le
produit des distances d’un point quelconque d'une section conique à deux côtés opposés d'un quadrilatère inscrit est au produit des distances de ce même point aux deux autres côtés dans un rapport constant.
En général, si l’on désigne par S = o et S,= o les équations de deux courbes du second degré, l’équation S — kS^ = o, dans laquelle k est un paramètre arbitraire, représentera toutes les courbes du second degré passant par les quatre points communs aux deux premières.
!376 — Corollaire II. Proposons-nous maintenant de déterminer une parabole passant par quatre points donnés a, b, c, d. Si l’on joint ces points deux à deux par deux droites ab, cd qui se coupent et que l’on prenne ces droites pour axes des coordonnées, l’équation générale des courbes du second degré qui passent par les quatre points est
a et 6 étant les abscisses des points a et 6, c et d les ordonnées des points c et d. Pour que le lieu soit une parabole, il faut que le paramètre k satisfasse à la condition
1 iV 4
ad bc J abcd
Lorsque le produit abcd est négatif, on trouve pour k deux valeurs imaginaires, et il est impossible de faire passer une parabole réelle par les quatre points. Lorsque le produit est positif, ce qui revient à dire que l’on peut former un quadrilatère convexe ayant pour sommets les quatre points, on obtient pour k deux valeurs réelles différentes, et, par conséquent, deux lignes réelles du genre parabole passant par les quatre
BR. It)
Ui LIVRE III, CHAPITRE IX,
points. Si l’on pouvait réunir les points deux à deux par des droites parallèles, chaque couple de droites parallèles constituerait une solution. Quand ceci n’a pas lieu, il y a effectivement deux paraboles passant par les quatre points.
977 — Corollaire III. Il est facile de former l’équation générale des courbes du second degré qui passent par trois points donnés a, b, c. Si l’on désigne par a = o, P = o, y = o l^s équations des trois droites bc, ca, ab, on voit que l’étjuation
(6) apy-f-ftya-t-ca^ = o
représente une courbe du second degré passant par les trois points donnés. Cette équation renferme deux paramètres arbitraires, les rapports de deux des coefficients a, b, ç au troisième, et on pourra disposer de ces deux paramètres de manière à faire passer la courbe par deux autres points pris à volonté dans le plan.
THÉORÈME III
97^ —On peut mener une courbe du second degré tangente â deux droites données en deux points domiés et passant par un autre point donné.
Soient 4t = o, p==o les équations des deux tangentes pa, pb, y = o celle de la droite qui passe par les deux points de contact a cl b (fig. i64). Considérons l’équation
(7) ap — A-y’— O,
dans laquelle le paramètre k est arbitraire. Si l’on y fait a = o,
on a y’=o, d'où l’on conclut que la droite pa rencontre la courbe en deux points qui coïncident, et, par cofiséquent, est tangente en a. De même, la droite pb est tangente en 6. On déterminera ensuite le paramètre A de manière que la courbe passe par un autre point donné. Il n'existe qu’une courbe du second degré satisfaisant à ces conditions; car, si deux courbes du second degré ont les mêmes tangentes en deux points a et b, l’équation (4), qui donne les
abscisses des points commuils, aura deux racines doubles; les deux courbes ne peuvent donc avoir un autre point commun.
279 — On peut déterminer le paramètre k par la condition que la courbe soit une parabole. En prenant les deux tangentes pour axes des coordonnées, l’équation (7) devient
Pour que la courbe soit une parabole, il faut que la condition (k — ^ ) ^ = O soit vérifiée; ce qui donne les deux so-
lutions A = o, A = ^5 à la première correspond la droite 06, à la seconde une parabole dont l’équation peut être mise sous
la forme
*80— Corollaire. L’équation (7) est l’équation générale des courbes du second degré tangentes à deux droites données en deux points donnés; elle signifie que le produit des distances d'un point quelconque d’une section conique à deux tangentes est au carré de la distance de ce point à la corde des contacts dans un rapport constant.
En général, si l’on «lésigne par S = o l’équation d’une colirbe du second degré, l’équation S — Ay* = o représentera toutes les courbes du second degré tangentes à la première en deux points situés sur la droite y — o.
Il résulte de ce qui précède que toute équation du second degré peut être mise sous la forme ap — Ay* = o, y = o désignant une droite quelconque, a=o et p = o les tangentes aux points où cette droite rencontre la courbe^ Si la droite réelle ab est extérieure à la courbe, c’est-à-dire la rencontre en deux points imaginaires conjugués, les tangentes en ces (leux points sont des droites imaginaires conjuguées, dont le point de concours p reste réel, et est situé à l’intérieur de la courbe. Réciproquement, d’un point intérieur p on peut mener à la courbe deux tangentes imaginaires conjuguées, et la droite
244 LIVRE in, CHAPITRE IX.
de contact ab, passant par deux points imaginaires conjugués, reste réelle.
THÉORÈME IV
284 — Lorsque deux sections coniques sont doublement tangentes à une même section conique, deux sécantes communes passent par le point de rencontre des cordes de contact.
Soit S = o l’équation d’une section conique; deux sections coniques S, et S, (fig. i65) doublement tangentes à la première seront représentées par des équations de la forme S — kf* — O, S — A'^y’=o,
En retranchant ces deux dernières équations membre à membre, on obtient deux droites réelles ou imaginaires
ky* — AY’ = o, ou
auxquelles appartiennent les quatre points communs aux deux coniques S, et S,. Ces deux sécantes communes ab, cd passent par le point de renconire des cordes de contact mn, m'n', dont les équations sont y = o, y' = o.
THÉORÈME V
^^^—Lorsque trois sections coniques ont deux points communs, les trois droites qui joignent les autres points d’intersection des courbes deux à deux passent par un même point.
Soit S = o l’équation de l’une des sections coniques, a = o l’équation de la droite qui passe par les deux points communs, les équations des deux autres sections coniques seront de la forme S — Aap = o, S — A-'ay = o. Les trois droites qui passent par les deux autres points d’intersection des courbes considérées deux à deux, sont p = o, y = o, A^ — A'y.— o; on voit que la troisième passe par le point d’intersection des deux premières.
THÉORÈME VI
2^3— Un hexagone étant inscrit dans une section conique,
les points de rencontre des côtés opposés sont en ligne droite.
Ce théorème, que l’on doit à Pascal, est une conséquence du théorème précédent. Soit abcdef {Wg. i66) un hexagone inscrit
dans une section conique; la courbe et les deux couples de droites ab et cd, af et de, peuvent être regardées comme trois sections coniques ayant deux points communs o et d. La droite bc joint les deux autres points d’intersection 6 et c
P de la courbe et des deux
droites ab et cd; la droite ef joint les deux autres points d’intersection e et f de la courbe et des deux droites af et de; d’ailleurs les deux couples de droites se coupent en m et p; les trois droites bc, ef, mp passent par un même point n; donc les trois points d’intersection m, n, P des côtés opposés de l’hexagone inscrit sont en ligne droite.
Ce théorème ne s’applique pas seulement à un hexagone convexe, mais encore à un hexagone fermé quelconque. On forme un hexagone inscrit en traçant six cordes consécutives dans un sens ou dans l’autre, de manière à revenir flnalement au point de départ. Si l’on numérote les côtés dans l’ordre suivant lequel on les a obtenus, les trois points d’intersection des côtés (i, 4)> (2, 5), (3, 6) sont en ligne droite (fig. 167).
284— Corollaire I. Lorsqu’on déflnit une section conique par cinq points a, b, c, d, e, le théorème précédent permet de construire autanfde points de la courbe que l’on veut. Par le point a traçons une droite quelconque af et cherchons le point foù celte droite coupe la courbe (fig. 166); on marquera le point d’intersection m des droites ab et de, le point d’intersection P des droites cd et af: la droite bc ira rencontrer la
246 LIVUE III, chapitre IX,
droite mp en un point n; le point f, où la droite ne rencontre
af, appartient à la courbe.
On peut aussi construire la tangente en Pim des points.
Quand deux sommets de l’hexagone inscrit, par exemple a et f, se confondent, le côté intermédiaire devient la tangente à la courbe au point a; si l’on applique le théorème de l'hexagone inscrit, en comptant cette tangente comme un côté, on a encore trois points en ligne droite. On marquera donc le point d’intersection m des côtés ab et de (fig. iü8), le point d'intersection n des côtés bc et ae; la droite ed rencontrera la droite wm en un point p; la droite ap est la tangente en a.
Pig. 168.
9§5— CoRopi-AiKE H. Un quadrilalère abcd étant inscrit dans une section conique, les points de rencontre des côtés opposés, et les points de rencontre des tangentes aux sommets opposés sont en ligne droite. Si, avec les tangentes en a et c, on
complète l’hexagone inscrit, on aura trois points m, n, p en ligne droite (fig. 169). En complétant l’hexagone avec les tangentes en 6 et d, ^'s- 169- on aura de même
trois points m, n, q en ligne droite. Donc les quatre points P> 5 sont en ligue droite.
Corollaire III. Un triangle étant inscrit dans une section conique, les points d’intersection des côtés et des tangentes aux sommets opposés sont en ligne droite. Car les trois tangentes complètent l’hexagone inscrit.
Digilized by Googic
*80— Nous avons vu (n“ 274) que par cinq points a, b, e, d, e, tels que trois d’entre eux ne soient pas en ligne droite, passe une section conique et une seule. On peut obtenir les éléments de cette courbe de la manière suivante : on commence par déterminer les tangentes A, R, C en trois des points donnés a, b, c. Dans toute courbe du second degré les tangentes aux extrémités d’une corde se coupent sur le diamètre conjugué à cette corde; par conséquent, la ligne qui joint le point de rencontre p des droites A et B au point milieu g de la droite ab est le diamètre des cordes parallèles à ab; de même la ligne qui joint le point de rencontre q des droites B et C au milieu h de bc est le diamètre des cordes parallèles à 6c. Supposons d’abord que les deux diamètres pg, qh se coupent en un point 0; dans ce cas, la courbe est une courbe à centre et le centre est le point 0. La droite op et la droite ok parallèles à ab forment un système de diamètres conjugués. Si l’on appelle a' la longueur du demi-diamètre dirigé suivant op, on a a' = \Jup .og; on obtient de même la longueur 6' du demi-diamètre dirigé suivant ok. Nous avons expliqué (n°‘ 174 et 170) comment on détermine les axes, quand on connaît uq système de diamètres conjugués a' et b'.
*87 — Si les deux diamètres sont parallèles, la courbe est une parabole. Dans ce cas, on mène les diamètres qui passent en a et 6, puis des droites faisant avec les tangentes les mêmes angles que les diamètres; ces deux droites se coupent au foyer de la parabole. En abaissant du foyer des perpendiculaires sur les tangentes A et B, et prolongeant chacune des perpendiculaires d’une longueur égale à elle-même, on a deux points de la directrice.
Lorsque l’on donne trois points et les tangentes en deux de ces points, on détermine la tangente au troisième point à l’aide de la propriété du triangle inscrit (n" 280), puis on opère comme précédemment. La construction relative à la parabole peut évidemment être employée quand on connaît deux tangentes à la courbe et les points de contact.
Supposons enûn que l’on veuille trouver les éléments d’une
parabole déterminée par quatre points a, b, c, d. Si l’on prend pour axes des coordonnées les deux droites ab, cd, les équations des paraboles passant par les points donnés sont
yabcd
/cd”
Les coefficients angulaires des axes des paraboles étant ± ^ •
on en conclut que ces axes sont parallèles aux diagonales d’un parallélogramme formé sur les axes des coordonnées et dont les côtés auraient pour longueurs les moyennes piroportionnelles entre a et ô, c et d. Connaissant la direction de l’axe, le théorème sur le pentagone inscrit (n" 284) donnera, en supposant que le point e s’éloigne indéfiniment, c’est-à-dire que les droites ae et de, par exemple, deviennent parallèles à l’axe, la tangente en l’un des points. Lorsque l’on aura déterminé deux tangentes, on sera ramené au cas précédent.
CONDITIOXS MULTIPLES.
288— Reprenons l’examen des conditions géométriques par lesquelles on peut déflnir une courbe du second degré. Jusqu’ici nous n’avons parlé que des conditions simples, comme les points et les tangentes. Le centre équivaut à deux conditions; car, si l’on prend le centre pour origine des coordonnées, l’équation du second degré, étant privée des termes du premier degré, ne contient plus que trois paramètres arbitraires; ainsi la courbe est définie par son centre et trois points.
Un diamètre avec la direction des cordes équivaut à deux conditions; car si l’on prend le diamètre pour axe des x et une parallèle aux cordes pour axe des y, l’équation, étant privée des deux termes du premier degré en y, ne contient plus que trois paramètres arbitraires.
Un syslcme de diamètres conjugués équivaut à trois conditions; car, si on les prend pour axes des coordonnées, l’équation, devant se réduire à la forme ax* by* c = o, ne contient plus que deux paramètres arbitraires. En général.
soient a = o, P = o, les équations de deux diamètres conjugués^ les distances a et de chaque point aux deux diamètres conjugués, étant proportionnelles aux coordonnées de ce point relatives à ces diamètres, la courbe sera représentée par l’éc]uation
(8) oa*-f-6P’-t-c = o
avec deux paramètres arbitraires.
L'équation
est réqualion générale des paraboles dont la droite a = o est un diamètre, et la droite p = o la tangente à l’extrémité de ce diamètre.
On sait que l’équation de l’hyperbole, rapportée à ses deux asymptotes, est xy = k. En général, soient a = o, P = o, les équations des deux asymptotes, l’hyperbole sera représentée par une équation de la forme
ne renfermant qu’un paramètre arbitraire k. Ainsi les deux asymptotes équivalent à quatre conditions, et la courbe est déterminée par les deux asymptotes et un point ou une tangente. Si l’on ne donnait qu’une asymptote a = o, l’équation ^ = 0 de l’autre asymptote étant indéterminée, l’équation (10) contiendrait trois paramètres arbitraires, de sorte qu’une asymptote équivaut à deux conditions.
Nous avons vu que toute courbe du second degré a un foyer et une directrice; il en résulte que l’équation
(il) (x — o)’-t-(y — h)' — {mx->rny + h)' = o.
par laquelle on exprime la propriété du foyer et qui renferme les cinq paramètres arbitraires o, h, m, n, h, représente toutes les courbes du second degré. Un foyer équivaut à deux conditions; car, si l’on donne un foyer, ses coordonnées a et 6 étant connues, l’équation (ii) ne contient plus que trois paramètres arbitraires. De même, une directrice équivaut à deux conditions; car, en donnant l’équation de la directrice, on déter-
mine les rapports de deux des paramètres m, n, h au troisième. La perpendiculaire abaissée du foyer sur la directrice, a X — a y —
pour équation
c’est un des axes de la courbe.
Un sommet situé sur cet axe équivaut à deux conditions; on écrira que les deux coordonnées du sommet vériflcnt l’équation de l’axe et celle de la courbe.
On peut se rendre compte d’une autre manière des résultats que nous venons d’obtenir. Il est clair que les deux coordonnées d’un point remarquable d’une courbe du second degré, comme le centre, un foyer, un sommet, etc., peuvent être exprimées à l’aide des coefficients de l’équation générale du second degré; si donc on donne un pareil ]ioint, on aura deux relations entre les coefficients. De même, les deux coefficients de l’équation d’une droite remarquable, comme la directrice ou un axe, etc., peuvent être exprimés à l’aide des coefficients de l’équation du second degré; si cette droite est donnée, on aura encore deux relations entre les coefficients.
2§»-Il est à remarquer que les formes précédentes, sous lescjuelles nous avons mis l’équation du second degré, rentrent dans la forme ap — Ay’ = o, composée de trois polynômes du premier degré a, fi, y qui se rapportent, les deux premiers aux tangentes menées d’un point arbitraire p du plan, le troisième à la corde des contacts. Lorsque le point p coïncide avec le centre de l’hyperbole, les tangentes a et p sont les asymptotes; la droite des contacts s’éloignant à l’infini, le polynôme Y se réduit à une constante et l’équation — Ay* = o devient afi — k — o. L’équation (8), mise sous la forme
(a Vâ -+- P V^) (a Va — p V^) — O,
se ramène à l’équation (lo). Quant à l’équation (ii), mise sous la forme
— — — a)] [(ÿ — b)-hi{x — a)] — {mx -+-ny-+- h)' = o.
elle rentre aussi dans l’équation — Ay*=o; les tangentes imaginaires menées du foyer ont pour coefficients angulaires ±i; la directrice est la corde des contacts. Les deux foyers
THÉORÈMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. m
imaginaires de l’ellipse ou de l’hyperbole jouissent de celte propriété, comme les deux foyers réels,
