CORDES SUPPLÉMENTAIRES

170— On appelle cordes supplémentaires dans l’ellipse deux cordes MC, MC', qui, partant d’un même point M de l’elii n lipse, aboutissent aux extrémités d’un

diamètre CC' (fig. 91).

I T — ') Deux cordes supplémentaires sont pa-

c’\ / ° ' '"-y rallèles à deux diamètres conjugués.

Menons, en effel, les diamètres OD et OE . parallèles aux cordes supplémentaires

MC', MC. Dans le triangle CMC', la droite OD parallèle à C'M, divise en parties proportionnelles les deux côtés CC' et CM; le centre 0 étant le milieu de CC', il s’ensuit que le diamètre OD divise en deux parties la corde CM et par suite toutes les cordes parallèles au diamètre OE. De même, le diamètre OE divise en deux parties égales la corde C'M et, par suite, toutes les cordes parallèles à OD. Donc les deux diamètres OD et OE, parallèles aux cordes supplémentaires MC', MC, sont conjugués.

Réciproquement, si par les extrémités d’un diamètre CC'on mène des droites parallèles à deux diamètres conjugués OD et OE, ces droites se couperont sur l’ellipse. En effet, soit M le point où la corde CM, parallèle à OE, rencontre l’ellipse ; joignons C'M; les cordes supplémentaires MC, MC' étant parallèles à deux diamètres conjugués, la seconde corde C'M sera parallèle à OD.

171— L’étude de la variation de l’angle de deux diamètres conjugués se trouve ainsi ramenée à l’étude de la variation de l’angle de deux cordes supplémentaires, c’est-à-dire de l’angle inscrit dans une demi-ellipse. Pour simplifier le calcul, on peut supposer les deux cordes supplémentaires menées par les

extrémités du grand axe (fig. 92). L’angle AMA', que nous

appellerons 0 , est égal à la différence des deux angles MAX, MA'X; les deux droites AM et A'M ayant pour

If

coefficients angulaires

et

Fig. 92.

lang 0 =

, on a

2 ay

et, en remplaçant x 1 par sa valeur tirée de l’équation de l’ellipse,

. . 2 ab*

lang 9 = — —

Si le point M décrit la moitié supérieure AMA; de l’ellipse, la tangente étant négative, l’angle 6 est obtus; quand le point M est au point A, c’est-à-dire quand y = 0, l’angle 0 est droit; le point M marchant de A vers B, y augmente; la valeur absolue de lang 0 diminuant, l’angle obtus 0 augmente aussi et acquiert sa valeur maximum au point B; alors on a y=b et

lang 0 = — - ; quand le point M dépasse le point B et

parcourt le quart d’ellipse BA', l’angle 0 diminue de sa valeur maximum jusqu’à un angle droit.

H résulte de là que l’angle des demi-diamètres conjugués OD et OE, situés d’un même côté du grand axe, est obtus et varie depuis un angle droit jusqu’à la valeur maximum ABA'; les diamètres conjugués, qui comprennent l’angle maximum, étant respectivement parallèles aux cordes supplémentaires A'B et AB et par suite également inclinés de part et d’autre du petit axe OB, sont égaux.

Nous avons étudié la variation de l’angle obtus DOE de deux diamètres conjugués, l’angle aigu DOE; varie en sens inverse. On obtient directement cet angle en menant les cordes supplé-