LIV. III, CHAP. IV.— DE L'ELLIPSE

inentaires par les extrémités du petit axe BB'; quand le point M décrit le quart d’ellipse BA, l’angle inscrit diminue depuis un angle droit jusqu’au minimum BAB', "supplémentaire du maximum obtus ABA'.

178— Lorsqu’une ellipse est tracée, on peut déterminer graphiquement le centre et les axes. Pour trouver le centre, on mènera deux cordes parallèles suffisamment écartées l’une de l’autre ; on joindra les milieux de ces cordes, ce qui donnera un diamètre dont le milieu sera le centre. Si sur ce diamètre on décrit un demi-cercle, et que l’on joigne aux deux extrémités du diamètre le point où ce demi-cercle coupe la demi-ellipse, on aura deux cordes supplémentaires perpendiculaires entre elles ; les diamètres parallèles, formant un système de diamètres conjugués rectangulaires, seront les axes de l’ellipse.

On pourrait obtenir de la même manière les deux systèmes de diamètres conjugués qui font entre eux un angle donné compris entre le minimum et le maximum ; il suffirait de décrire sur un diamètre un segment capable de l’angle donné.

173 — Construire une ellipse , étant donnés deux diamètres conjugués.

Soient DD', EE' (tig. 93) les deux diamètres conjugués donnés, dont nous désignerons les longueurs par 2 a' et 2 V.

Ei

ne. 93.

l’ellipse qui a pour axes Diy, E,E,' présentée par la même équation, nées MP, M,P, qui correspondent i

L’equation de l’ellipse , rapportée à ces deux diamètres conjugués, est

Par le centre menons la droite E,E,' perpendiculaire à DD' et prenons OE, = OE; , rapportée à ces axes, estre- 11 en résulte que les ordoni une même abscisse OP, sont

égales entre elles. Imaginons que, par le procédé indiqué au n* 447, on ait construit différents points de l’ellipse DE,D', dont on connaît les axes; soit M, l’un de ces points, M,P son ordonnée; si parle point P on mène PM parallèle à OE et égale à PM,, on aura un point M de l’ellipse demandée. Chaque point de la première ellipse donnera un point correspondant de la seconde. Ceci retient à déformer la première ellipse en faisant tourner chaque ordonnée PM, autour de son pied P d'un angle constant.

Le même mode de transformation s’applique à la tangente. La tangente au point M est représentée par l’équation

*X yY

en coordonnées obliques ; cette équation représente aussi la tangente au point M, en coordonnées rectangulaires. Ces deux tangentes coupent le prolongement du diamètre Diy au même point T, dont on obtient l’abscisse en faisant Y = 0.

Au lieu de construire l’ellipse par points, comme nous l’avons expliqué, on pourrait déterminer d’abord les axes de l’ellipse, et construire ensuite cette ellipse au moyen de ses axes. La détermination des axes dépend d’un théorème que nous allons démontrer.

174 — Deux diamètres conjugués quelconques déterminent sur une tangente fixe PQ deux portions DP, DQ, dont le produit est constant et égal au carré du demi-diamètre OE parallèle à la tangente.

Si l’on prend pour axes des coordonnées le diamètre OD, qui passe par le point de contact et le diamètre conjugué OE, et si l’on appelle a' et b’ les longueurs de ces demidiamètres, l’équation de l’ellipse est