HYPERBOLES CONJUGUÉES

183 — Deux hyperboles sont dites conjuguées lorsque, ayant même centre et mêmes axes, l’axe réel de l’une est axe imaginaire de l’autre. Ainsi l’hyperbole proposée a pour conjuguée une autre hyperbole ayant pour axe transverse b et pour axe imaginaire a (fig. 98).

L’équation de cette seconde hyperbole est évidemment

Deux hyperboles conjuguées ont les mêmes asymptotes , puisque le rectangle construit sur les axes est le même pour les deux courbes. L’une des courbes est comprise dans les deux angles ROS', R'OS opposés par le sommet, et l’autre dans les deux autres angles ROS, R'OS'.

HYPERBOLE ÉQUILATÈRE.

184 — On dit qu’une hyperbole est équilatère lorsque les axes a et b ont même longueur. Dans ce cas le rectangle des axes devient un carré, et les asymptotes sont perpendiculaires entre elles; l’hyperbole conjuguée est égale à la première; on l’obtient en faisant tourner celle-ci d'un angle droit autour de son centre.

L’hyperbole dont les axes sont a et b peut être construite au moyen de l’hyperbole équilatère dont l’axe est a, comme on a construit l’ellipse ayant pour axes a et 6 au moyen du cercle

de rayon a, c’est-à-dire que la première hyperbole peut être regardée comme la projection orthogonale de la seconde. Mais cette considération n’est d’aucune utilité dans les constructions graphiques relatives à l’hyperbole, parce que le tracé d’une hyperbole équilatère n’est pas plus simple que celui d’une hyperbole quelconque.

185— Soient x et y les coordonnées d’un point quelconque du plan; considérons le polynôme x* y* a* b *

Pour un point M appartenant à la courbe, ce polynôme est égal à zéro ; si l’on fait marcher un point P à partir de M sur

une parallèle à l’axe transverse AA' (fig. 99), le terme —

cc *

conserve une valeur invariable, tandis que le terme — dimi-

nue ou augmente suivant que le point P se rapproche ou s’éloigne de l’axe des y. Il en résulte que le polynôme a une valeur négative pour tous les points situés entre les deux branches de l’hyperbole, et positive pour tous les autres points du plan.

TANGENTE A L’HYPEKBOLE.

1 86— L’équation de la tangente au point M, dont les coordonnées sont x et y, est

x\ mY

Pour construire celte droite, on peut déterminer le point T (fig. 97), où elle coupe l’axe OX. Si, dans l’équation (2), on fait Y’=0, il vient

on obtient cette longueur OT par une troisième proportionnelle.