AIRE D UK SEGMENT HYPERBOLIQUE

201— Nous commencerons par établir le théorème qui sert ordiri.lirementà l’évaluation des aires. Considérons l’aire comprise entre l’axe OX, une courbe, une ordonnée fixe AB, et une ordonnée mobile MP (fig. 103), correspondant à l’abscisse x; celte aire, que nous désignerons par S, est1 une fone-

LIV. III, CHAP. V.— DE L’HYPERBOLE, tion de la variable x : nous cherchons sa dérivée. Donnons à

x un accroissement A jr=PP', assez petit pour que de M en M' r. l’ordonnée varie dans le même sens ; par

I n vy' les points M et M' menons des parallèles

I MC, M'D à l’axe OX; l’accroissement AS

— ^ de l’aire est plus grand que le parallélo-

■-l'jT.fl) Jil J-J» -f V. llu’1 P.‘. •!>/•*: •!.. 1 , i >

| )i gramme MPP'C, et plus petit que le pa-

— ü| a r r' à rallélogramme DPP'M'; le premier pat- F’f- l05, rallélogramme a peur mesure y. A x.sin9, 9 étant l’angle de6 axes, le second (y+Ay) àœ, si» ô ; on a donc , 1 1 1 i y. A x.iint <AS <(y-p Aÿ)A®. jinô j ...( .nu et, en divisant par Sx,

AS ' •' - • • i

' r&f.ïïsç**.****, „ . . .

Supposons maintenant que l’on fasse tendre Sx Vers zéro.

- 1 1 1 ■ * AS ’ * * 1 1 * ! i 1 1 ’ " ! i 1 j > Lj; i ÎJ . , ■ i - f ! t ■ ; i * ' (

Le rapport - — est compris entre deux quantités, 1 une ysmô, Ax

l’autre ayant pour limite cette quantité ; dope le rapport a aussi pour limite ysino. Ainsi la dérivée de l’aire considérée comme une fonction de l’abscisse est y «mû. Réciproquement l’aire 8 est l’utie des fonctions primitives de y tint, considérée comme une fonction do x.

Quand les axes des coordonnées sont rectangulaires , fa dérivée de l’aire est égale à y.

2©*— Considérons une hyperbole rapportée à ses asymp-

Fig. 10».

tôles , et proposons-nous d’évaluer l’airé comprise entre l’asymptofe OX, l’hyperbole, l’ordonnée fixe AB correspondant à l’abscisse a, et l’ordonnée variable MP correspondant à l’abséissè x (8g. 106). L’éqnation de la courbe élan!

‘ : .ry = **, ««•*

ou a K n i. j

et par suite

ysine = k'sin'i- -

•<t : .7 • ■ / : . ■ jj

JJ

Or — est la dérivée de Ljj,, donc k'sinQX — est la dérivée

de k*sînO Lx , et par conséquent On a ■ -i S=^*sm6L jj-I-C.

On détermine la constante C par la Condition que l’Üire soit' nulle pour asff, eéqtji donne G ‘sine La; el, par suite,

no ,k«

(8) S = À-îsmO(Ljr — L a) =

L’abscisse a restant constante, Si Euto fait augmenter x indéfiniment; Faire S augmente auS» qu delà de tou tedimiien&a

même chose a lieu quand on fait tendre a vers 2éro, x restant fixe y'’' }J',n 1 ■ ' r-’I* r"> ’ ■-* M‘J anqri'oo ko- — — Tioqqm oJ

r Dans le oàs particulier où 1 hyperbole est équilatère, ou A sinô =24 ; si l’on suppose en Outre A*.cm4.,\et,que l’on compte l’aire depuis l’ordonnée qui- répond à l’abscisse t, c’est-à-direj au sommet de la courbe, la formule précédente se réduit à i ’f

S^=L(u?)-. - ) i ; ï i «jinm-o -ot i ia

C'est à caiise de cette propriété que. l’on désigne; aussi les logarithmes népériens sous le pom de logarithmes hyper*, boliques.

-<Sk i’on suppose É=-l et a=t,' la fprmu}e!t,8Jiduviep|>g -*'h :<j jS=~s/nO L (x).

On pourra prendre 9 de manière que S soit le logarithme de x dans .un système, quelconque dont la base est plus grande

que SMqwioa L’/. vil uni.

-S'/ uôniî'ii/io'J j-> .►>

wi;-.-! • :■ m: EXERCICES.

riu On donne deux points A et B, par ces deux points on mène deux droites mobiles AM et BM telles que l’angle MAB soit double.de MBA; trouver le lieu des points d’intersection M. r. no .ri .3.7