AD A'D

ces deux points sont les extrémités de l’axe transverse AA' de l’hyperbole

(fig. 113). Le milieu O en est le centre. La perpendiculaire BB',

Fi6. 114.

menée par le centre à l’axe trans verse AA', est l’axe non transverse de l’hyperbole. Ainsi l’axe transverse de l’hyperbole est perpendiculaire à la directrice. Si l’on fait tourner la figure autour de BB' pour l’appliquer do l’autre côté, le foyer F vient en F', la directrice DE en D'E' ; le foyer F' avec la directrice D'E', et le même rapport A

donne la même hyperbole.

184 GÉOMÉTRIE ANATYTHjlÉ.

Enfin lorsque A== I, la courbe est une parabole. La perpendiculaire abaissée du foyer sur la directrice est l’axe et le milieu A de la distance FD est le sommet de la parabole (fig. 114).

247 — Nous avons étudié le lieu des points tels que les distances de chacun d’eux à un point fixe F et à une droite fixe DE sont dans un rapport constant, et nous avons vu que ce lieu est représenté par l’équation

tmx+ny+p ±1/111’ + n’

Cette équalion montre que la distance du foyer F à un point quelconque M de la courbe est égale à une fonction eniière et du premier degré des coordonnées x et y du point M.

Réciproquement, si un point fixe F jouit de cette propriété que sa distance à un point quelconque M de la courbe soit égale à une fonction entière et du premier degré des coordonnées x et y du point M, ce point F est un foyer, c’est-à-dire qu’il existe une droite DE (fig. 111), telle que le rapport des distances de chacun des points de la courbe au point F et à la droite DE soit constant. En effet, supposons que l’on ait

FM=±(m.r + np + p),

en désignant par mx+ny + p une fonction entière et du premier degré des coordonnées x et y du point M. Considérons la droite DE qui a pour équalion

mx + ny+p=0 ;

la distance du point M à cette droite est donnée par la formule Mp mx+ny+p

On a donc

MF / r

Ainsi le rapport des distances de chacun des points de la courbe au point fixe F et à la droite fixe DE est constant; le point F est donc un foyer de la courbe, et la droite DE la

L1V. III, CHAI*. VII — FOYERS ET DIRECTRICES. 185 directrice correspondante. En désignant par k la valeur du

rapport constant, on a A=E/ m’-f-n*.

Voilà pourquoi on définit souvent le foyer d’une courbe du second degré un point fixe F dont la distance à un point quelconque M de la courbe s’exprime par une fonction entière et du premier degré des coordonnées du point M. On obtient l’équation de la directrice en égalant cette fonction à zéro.

Il est évident à priori que celte propriété algébrique du foyer est indépendante de la position des axes des coordonnées dans le plan, puisqu’elle a une signification géométrique bien précise; d’ailleurs il est clair qu’une fonction entière et du premier degré conserve ce même caractère quand on change les coordonnées.

Si l’on prend l’axe des y parallèle à la directrice et pour axe des x une droite quelconque, l’équation de la directrice devant être de la forme mx-Hp=0, il en résulte que le coefficient n est nul et par suite que la distance FM du foyer à un point quelconque M de la courbe est égale à une fonction entière et du premier degré ±{mx-{-p) de l’abscisse x du point M.

Nous allons nous occuper maintenant de la question inverse; étant donnée une courbe du second degré, trouver son foyer et sa directrice, c’est-à-dire trouver dans le plan de la courbe un point et une droite tels que le rapport des distances de chacun des points de la courbe au point fixe et à la droite fixe soit constant. Comme nous l’avons dit, cette question revient à la suivante : trouver un point tel que sa distance à chacun des points de la courbe soit égale à une fonction entière et du premier degré des coordonnées du point de la courbe.