FOYERS ET DIRECTRICES DE L’ELLIPSE
218 — Pour simplifier le calcul, supposons l’ellipse rapportée à ses axes et soit
son équation. D’après ce que nous avons dit précédemment, (n°216),le foyer doit être situé sur le grand axe et la directrice perpendiculaire à cet axe, et par conséquent parallèle à l’axe des y; il en résulte que la distance du foyer à un point quelconque de l’ellipse s'exprimera par une fonction entière et du premier degré de l’abscisse de ce point. Appelons a l’abscisse du foyer et 3 la distance de ce foyer à un point quelconque de la courbe; on a
et par suite
si l’on remplace y' par sa valeur tirée de l’équation de l’ellipse, il vient
&'=(x-*)'+—i(a'—x'), ou, en ordonnant,
S’=- — — — X' — 2aX-(a'
Pour que la quantité S soit une fonction rationnelle en x, il faut que son carrés", qui est un polynôme du second degré, soit un carré parfait, ce qui exige que l’on ait , (o1 — 6*) («* + &’) n
ou
et par suite
On trouve ainsi deux foyers F etF'(fig.HS) situés sur le grand
axe et à égale distance de part et d’autre du centre.
Pour les construire, du sommet B du petit axe comme centre, avec un rayon égal à a, on décrira un cercle ; les points F et F' où ce cercle Fiü- |1S- coupe le grand axe sont
LiV. III, CHAP. VU. — FOYERS ET DIRECTRICES. 187
les foyers. Posons, pour abréger fl1— b=c\ d'où a=±c; on a
Le double signe dans la parenthèse se rapporte aux deux foyers; et il faudra choisir le signe en avant de la parenthèse de manière à obtenir une quantité positive.
La distance du foyer à un point quelconque de l’ellipse est exprimée ainsi par une fonction entière de l’abscisse; en égalantàzéro cette fonction, on obtient les équations des directrices
ex
ou
Au foyer F correspond la directrice DE, qui a pour équation
x— — j au foyer F la directrice D'E' qui a pour équation
x = — . On construira le point D par une troisième pro-
portionnelle.
Le rapport constant k= / m’ + n 1 est ici égal à m ou à -.
Ainsi le rapport constant des distances de chacun des points de l’ellipse au foyer et à la directrice est égal au rapport de
la distance FF' des foyers au grand axe AA'. Ce rapport —
est ce qu’on appelle l’excentricité de l’ellipse.
