THÉORÈME I

219— La somme des distances de chacun des points de l’ellipse aux deux foyers est constante et égale au grand axe.

Nous avons trouvé pour expression de la distance d’un point quelconque de l’ellipse à l’un ou l’autre foyer

Dans l’ellipse, le rapport — étant moindre que l’unité etl’ab-

scisse x moindre que a en valeur absolue, le terme — est

plus petit que a en valeur absolue et par conséquent la parenthèse est toujours positive; il faudra la faire précéder du signe +. Quant au double signe dans la parenthèse, le signe supérieur se rapporte au foyer F, le signe inférieur au foyer F'; on a donc (Gg. 115)

MF=a— — , a

MF' = a +

d’où l’on déduit

MF -f MF' = 2 a.

220 — Corollaire I. La somme des distances d’un point intérieur à l’ellipse aux deux foyers est plus petite que le grand axe. La somme des distances d’un point extérieur est plus grande que le grand axe.

Considérons d’abord un point N (fig. 116) situé à l’intérieur de l’ellipse. Joignons ce point aux deux foyers et prolongeons la droite F'N jusqu’à sa rencontre avec l’ellipse en M. Le point M appartenant à l’ellipse, la somme des deux rayons vecteurs MF + MF' est égale au grand axe AA'; mais la ligne droite NF est plus petite que la ligne brisée NM -f MF ; en ajoutant de part etd’autrela même longueur F'N, on voit que le chemin F'N-)-NF est plus petit que F'M+MF, c’est-à-dire plus petit que AA'.

Considérons maintenant un point P situé hors de l’ellipse; la

Fig. 116

droite PF' rencontre l’ellipse en un point M. La ligne brisée MP-fPF est plus grande que la ligne droite MF; en ajoutant de part et d’autre la même longueur F'M, on voit que le chemin F'P+PF est plus grand que F'M + MF, c’est-à-dire plus grand que AA'.

Il est clair que les réciproques sont vraies. Si la somme des distances d’un point du plan aux deux foyers est plus petite que le grand axe, ce point est intérieur à l’ellipse. Si la somme est plus grande que le grand axe, le point est extérieur.

Il résulte de là que l’on peut considérer l’ellipse comme le lieu des points dont la somme des distances aux deux foyers est constante. C’est ainsi qu’on définit l’ellipse en Géométrie élémentaire, et c’est sur cette propriété que repose la construction de l’ellipse par points, ou d’un mouvement continu, dont nous avons parlé au commencement (n°s 12 et 13).

221— Corollaire II. L'ellipse est le lieu des points également distants du foyer F et du cercle décrit de l’autre foyer F'

comme , centre , avec un rayon égal au grand axe.

Si l’onjointlesfoyersàun point quelconque M de l’ellipse , et si l’on prolonge le rayon vecteur F M d’une longueur MH égale àMF, on obtientune longueur F'H constante et égale au grand axe ; le lieu du point H est donc la circonférence décrite du foyer F' comme centre avec le grand axe pour rayon. La portion MH du rayon étant le plus court chemin du point M à cette circonférence, on voit que le point M de l’ellipse est également distant du foyer F et de la circonférence. On a donné à ce cercle le nom de cercle directeur.

Théorème ii.

222 — La tangente à l’ellipse fait des angles égaux avec les rayons vecteurs, qui vont du point de contact aux deux foyers.

Prenons deux points voisins M et M' (fig. 118) sur l’ellipse; du foyer F comme centre, avec FM pour rayon, décrivons un

arc de cercle qui coupera en C le rayon vecteur FM', la longueur M'G représente la différence des deux rayons vecteurs FM et FM', ou l’accroissement qu’éprouve le rayon vecteur FM quand on passe du poirit M au point voisin M'. De môme, si du Fig. us. foyer F' comme centre, avec F'M

pour rayon, on décrit un arc de cercle qui coupera en D le rayon vecteur F'M' prolongé, la longueur M'D représentera la différence des deux rayons vecteurs F'M et F'M', oü la diminution qu’éprouve le rayon vecteur F'M quaild on passé du point M au point M'. Ainsi, quand on passe du point M au point M', le rayon vecteur FM éprouve un accroissement M'C, tandis que l’autre rayon vecteur F'M éprouve une diminution M'D. Puisque la somme des deux rayons vecteurs FM + F'M reste constante, l’augmentation de l’un est égale à la diminution de l’autre, et par conséquent les deux longueurs M'C et M'D sont égales.

Par les deux points M et M' menons la sécante MS; dans les deux cercles considérés précédemment, traçons les cordes MC et MD. Sur la sécante MS portons une longueur MG, arbitraire, mais invariable, et par le point G menons GH parallèle à MC, Gfc parallèle à MD ; à cause des parallèles, on a les rapports égaux

puisque les deux longueurs M'C et M'D sont égales, il en résulte que les deux longueurs M'H et M'K sont aussi égales.

Supposons maintenant que le point M' se rapproche indéfini-

ment du point M; la sécante MS tend vers une position limite, qui est la tangente à l’ellipse. En même temps, les points C et D se rapprochent aussi du point M, les cordes MC et MD, prolongées, tendent vers les tangentes aux cercles décrits des points F et F7 comme centres avec FM et F'M pour rayons, et par conséquent devienrient perpendiculaires aux rayons FM et F7M -, leurs parallèles GH et GK prennent aussi les directions perpendiculaires à ces mêmes rayons, et, comme les rayons vecteurs FM7 et F'M7 se confondent avec FM et F7M, les angles H et K deviennent droits.

Les limites des deux triangles M7GH , M7GK sont deux triangles rectangles MGH, MGK (fig. 119); ces deux triangles, ayant l’hypoténuse MGcommune elles \ côtés MII et MK égaux entre eux comme

limitesdes longueurs égales M7IIelM7K,

/ son* égaux 1 d’où l’on conclut l’égalité

( J 1 des deux anglesGMH,GMK. Il en résulte

y7 que la tangente MT à l’ellipse divise en ^ deux parties égales l’angle FMK formé

F‘B' n9‘ par l’un des rayons vecteurs MF et le

prolongement de l’autre F7M.

L’angle F'MT7 étant égal à son opposé par le sommet GMK, on voit que la tangente TT7 fait, avec les deux rayons vecteurs qui vont au point de contact, des angles égaux FMT, F7MT7.

223— Corollaire I. Menons au point M (fig. 120) une perpendiculaire MN à la tangente TT7, nous aurons la normale à

Fiç. 120.

l’ellipse. Les deux angles FMN, F7MN, sontégaux comme complémentaires des angles égaux FMT, F7MT'; ainsi la normale à l'ellipse a« point M est bissectrice de l’angle FMI’7 des rayons vecteurs qui vont de ce point aux deux foyers.

223— Corollaire IL Supposons qu’une lumière soit placée au foyer F (fig. 121) d’une ellipse; les rayons lumineux, par-

tant du point F, se réfléchissent sur l'ellipse en faisant un angle de réflexion égal à l’angle d’incidence. Soit FM l’un de ces rayons; menons la tangente TT' à l’ellipse en a ce point; le rayon réfléchi, devant faire avec MT' un angle égal à FMT, sera dirigé suivant MF'. Ainsi les rayons Fie- 121 réfléchis viennent tous concourir au

second foyer F' où ils forment une image très-brillante de la flamme placée au premier foyer F. C’est de là que vient la dénomination de foyer.

225 — Corollaire III. Réciproquement, l’ellipse est la seule courbe qui jouisse de la propriété que sa tangente fasse extérieurement des angles égaux avec les rayons vecteurs qui vont du point de contact à deux points fixes F et F'. Cherchons, en effet, l’équation de la courbe en coordonnées bi-polaircs et désignons par u et v les deux rayons vecteurs MF, MF' (fig. 418). Quand on passe d’un point M de la courbe au point voisin M', les deux rayons vecteurs u et « éprouvent des variations

Au=-fM'C, A t>= — M'D,

et l’on a

Ai? M'D M'K

Au- M'C M'H’

Quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la droite M'M devient tangente et les deux angles H et K, comme nous l’avons dit, deviennent droits. Nous supposons d’ailleurs les deux angles GMH, GMK (fig. 1 19) égaux entre eux; les deux triangles rectangles GMH, GMK sont donc égaux, et l’on

aMH=MK. Le rapport — tend vers une limite égale à —

et par conséquent égal à — 1. Si l’on considère v comme une fonction de u, on voit que la dérivée de celte fonction est égale à — 1; en remontant à la fonction primitive, on a v= — u +C; et par suite u + »=C. Donc la courbe est une ellipse.

2 26 — Corollaire IV. Le lieu des projections des foyers sur les tangentes à l'ellipse est le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre. La tangente étant perpendiculaire sur le milieu I de la droite FH, le point I est la projection du foyer F sur la tangente. Joignons ce point au centre 0 de l'ellipse. La droite 01, qui divise en deux parties égales les côtés F' F, Fil du triangle Fie- >22- F'FH, est parallèle au troisième côté

F'H, et en est la moitié; la longueur F'H étant égale au grand axe AA', la distance 01 est constante et égale à OA. Donc le lieu du point I est la circonférence de cercle décrite du point 0 comme centre, avec OA pour rayon.

PROBLÈME I

227 — Mener une tangente à l’ellipse en un point M donné sur l’ellipse.

Nous avons déjà résolu ce problème, ainsi que les suivants, en considérant l’ellipse comme la projection d’un cercle. Nous allons traiter les mêmes questions par une autre méthode qui pourra être appliquée à l’hyperbole et à la parabole.

Prolongez le rayon vecteur F'M (lig. 122) d une longueur MH égale à l’autre rayon vecteur MF, et par le point M menez une droite TT' perpendiculaire à Fil; vous aurez la tangente demandée.

Car, dans le triangle isocèle FMH, la droite MT, perpendiculaire abaissée du sommet sur la base FH, divise l’angle au sommet en deux parties égales. Cette droite, étant bissectrice de l’angle FMH, formé par l’un des rayons vecteurs elle prolongement de l’autre, coïncide avec la tangente à l’ellipse.

228— Remarqie. 11 est bon de remarquer que tous les

points de la tangente, excepté le point de contact M, sont situés hors de l’ellipse. Soit P un |>oint quelconque de la tangente, joignons ce point aux deux foyers et au point H. La tangente, étant perpendiculaire sur le milieu de FH, la distance PF égale PH, et par conséquent la ligne brisée F'P + PF égale la ligne brisée F/P+ PH; mais cette dernière est plus grande que la ligne droite F'H qui est égale au grand axe de l’ellipse, puisqu’on a prolongé le rayon vecteur FAI d’une longueur MH égale à MF. La somme des distances du point P aux deux foyers étant plus grande que le grand axe, ce point est situé hors de l’ellipse.

La ligne brisée F'M+MF est le plus court chemin allant du point F' au point F eu passant par un point de la tangente.

On dit qu’une ligne brisée est convexe, lorsqu’elle est située tout entière d’un même côté par rapport à chacun de ses côtés indéfiniment prolongé. De meme, on dit qu’une courbe est convexe lorsqu’elle est située tout entière d’un même côté par rapport à chacune de ses tangentes indéfiniment prolongée. 11 résulte de ce qui précède que l’ellipse est une courbe fermée convexe.

PROBLEME II

220— Mener une tangente a l’ellipse par un point extérieur P.

Supposons le problème résolu et soitPM (fig. 1-24) la tangente

Fig. 124 .

est égale au grand axe AA' Conférence décrite du foyer

demandée. Si l’on prolonge F'M d’une longueur MH égale à FM, on sait que la tangente PM est perpendiculaire sur le milieu de la droite FH; il en résulte que la distance P11 est égale à PF.

La question revient à déterminer le point H. Puisque la droite F'H le point II est situé sur la circomme centre avec AA' pour

rayon. D’autre part, la distance PH étant égale à PF, le point H est sur la circonférence décrite du point P comme centre avec PF pour rayon; le point H est donc à l’intersection de ces deux circonférences. On déduit de là la construction suivante:

Du foyer F' comme centre, avec un rayon égal au grand axe, décrivez un cercle. Du point P comme centre, avec un rayon égal à la distance PF de ce point à l’autre foyer, décrivez un second cercle, qui coupera le premier au point H. Joignez FH, et du point P menez une perpendiculaire à la droite FH, vous aurez la tangente demandée. Le point de contact M sera déterminé par l’intersection de la tangente avec la droite F'H.

Les deux cercles se coupent en un second point H'; en menant de même du point P une perpendiculaire à FH', on aura une seconde tangente PM', dont on déterminera le point de contact M' à l’aide de la droite F'H'.

11 est à remarquer que ces constructions peuvent être effectuées sans que l’ellipse soit tracée. 11 suffit que Ton connaisse les foyers et le grand axe.

PROBLÈME III

230 — Mener à l’ellipse une tangente parallèle à une droite donnée KL.

Supposons le problème résolu, et soit ST la tangente demandée (fig. 125). Si Ton prolonge F'M d’une longueur MH égale à MF, on sait que la tangente est perpendiculaire sur le milieu de FH. On en déduit la construction suivante :

Du foyer F' comme centre, avec un rayon égal au grand axe, décrivez un cercle; par l’autre foyer F menez une droite FH perpendiculaire à la droite donnée KL; cette droite coupera la circonférence en un point H ;

sur le milieu de FH, élevez une perpendiculaire ST, vous aurez la tangente demandée. Le point de contact sera déterminé par l’intersection de la tangente avec la droite F IL La droite FH prolongée rencontre la circonférence en un second point H'; en élevant une perpendiculaire sur le milieu de FIF, on obtiendra une seconde tangente S'T', dont on déterminera le point de contact M' par la droite FIF.

PROBLEME IV

— Une ellipse étant définie par ses foyers et son grand axe, déterminer les points où elle est coupée par une droite donnée MM'.

Soit M l’un des points où la droite donnée coupe l’ellipse; joignons ce point aux deux foyers et prolongeons le rayon vecteur F M d’une longueur Mil égale à MF; le point H appartient au cercle directeur \ décrit du foyer F' comme cen- , Ire; si du point M comme j centre, avec un rayon égal à / MF, on décrit un cercle, ce cercle sera tangent en H au cercle directeur; en abaissant du foyer F une perpendiculaire sur la droite donnée et prolongeant cette perpendiculaire d’une longueur égale à elle-même, on obtient un second point F, appartenant à ce même cercle. La question revient donc à trouver le centre M d’un cercle passant par les deux points donnés F et F, et tangent au cercle directeur. Pour cela, par les deux points F et F, on fait passer un cercle quelconque, qui coupe le cercle directeur en deux points K et K' ; du point I, intersection des deux droites FF, et KK', on mène une tangente III au cercle directeur; le point M, où la droite FH coupe la droite donnée, sera le point cherché.

On a en effet