FOYERS ET DIRECTRICES DR L’HYPERBOLE

232— Supposons aussi l’hyperbole rapportée à ses axes, et soit

son équation. Le foyer devant être situé sur l’axe transverse et la directrice perpendiculaire à cet axe, ainsi que nous l’avons remarqué (n° 216), la distance S du foyer F à un point quelconque M de la courbe s’exprimera par une fonction entière et du premier degré de l’abscisse du point M. Si l’on appelle a l’abscisse du foyer, on a

ou, en remplaçant y ’ par sa valeur tirée de l’équation de la courbe,

et par suite

8* = — x* — 2aa?-|-g* — b', a'

Pour que ce polynôme soit un carré parfait, il faut que la condition

soit remplie; on en déduit

On obtient ainsi deux foyers F et F' situés sur l’axe transverse à même distance du centre (fig. 127). Pour déterminer graphiquement les foyers, par le sommet A, on élève une perpendiculaire AG sur l’axe transversc jusqu’à l’asymptote, et on prend OF=OG. Si l’on pose, pour abréger d’où <x=±c, il vient

c’a;* „ . , (ex \ «

8’= — j- rF2cx+a’= — +d , a \ a J

et par suite

En égalant à zéro cette fonction du premier degré, on obtient les équations des directrices

Au foyer F correspond la directrice DE, au foyer F' la direc-

Fig. 127.

pendiculaire IID sur l’axe transverse OA, on a OH =OFxOD,