THÉORÈME I

261 — La section d’an cylindre circulaire droit par un

plan quelconque oblique à la base est une ellipse.

Par l’axe CC' du cylindre (fig. 151), menons un plan perpendiculaire au plan sécant; nous prendrons ce plan pour plan de la figure. Ce plan coupe le cylindre suivant deux génératrices opposées GG', HH', et le plan sécant suivant la droite AA'. Dans le plan de la figure, décrivons deux cercles C et C' tangents à la droite AA' et aux deux génératrices GG', HH' du cylindre ; il suffit pour cela de mener les bissectrices des angles A et A', jusqu’à leur rencontre en C et C' avec l’axe du cylindre ; si du point C comme centre, avec le rayon du cylindre, on décrit un cercle, ce cercle touchera les génératrices en G, H, et la droite AA' au point F ; le cercle décrit du point C' comme centre touchera de même les génératrices en G', H', et la droite AA' au point F'. Imaginons maintenant que la figure tourne autour de l’axe CC'; la génératrice GG' engendrera la surface du cylindre, tandis que les deux cercles engendreront deux sphères inscrites dans le cylindre et le touchant intérieurement, la première suivant la circonférence de grand cercle GLH, la seconde suivant la circonférence de grand cercle G'L'H'. En outre, les deux sphères sont tangentes au plan proposé, la première au point F, la seconde au point F'. En effet, le plan de la ligure et le

plan proposé sont perpendiculaires entre eux ; la droite CF, qui est tracée dans le premier plan perpendiculairement à leur intersection AA', est perpendiculaire au second plan ; le plan AMA', étant perpendiculaire à l’extrémité du rayon CF, est tangent à la sphère C au point F. On verrait de même que ce plan est tangent à la sphère C' au point F'.

Cela posé, soit AMA' la courbe suivant laquelle le plan sécant coupe le cylindre; nous allons démontrer que cette courbe est une ellipse ayant pour foyers les points F et F7. Joignons un point quelconque M de celle courbe aux deux points F et F' ; par le point M passe une génératrice LL' du cylindre, et cette génératrice touche la sphère supérieure au point L, la sphère inférieure au point L'. Les deux droites MF, ML, tangentes menées du même point M à la sphère C, sont égales; de même , les deux droites MF' , ML' , tangentes menées du point M à la sphère inférieure, sont égales. Ainsi la somme des rayons vecteurs MF + MF' est égale à ML-f ML', c’est-à-dire à la portion LL' de la génératrice comprise entre les deux cercles de contact ; longueur constante, car dans le mouvement de révolution autour de CC', la génératrice GG' vient coïncider avec LL'. On voit par là que la somme des distances de chacun des points de la courbe aux deux points fixes F et F' est constante et égale à GG' ; on en conclut que la courbe est une ellipse ayant pour foyers F et F'.

262 — Corollaire. Les droites DE, D'E', intersections -du plan sécant et des plans des cercles GH, G'H', suivant lesquels les sphères inscrites louchent le cylindre, sont les directrices de l’ellipse. En effet, par le point M menons un plan perpendiculaire à l’axe du cylindre, ce plan coupera le cylindre suivant un cercle NMN'. La droite DE, intersection de deux plans perpendiculaires au plan de la figure, est elle-même perpendiculaire à ce plan, et par suite à la droite AA' ; il en est de même de la droite MF, intersection du plan du cercle et du plan sécant. Le rayon vecteur MF étant égal à ML ou à NG, et la perpendiculaire abaissée du point M sur la directrice DE étant

LIV. III, CHAI’. VIII. -SECTIONS CONIQUES. 2-25 égale à PD, le rapport des distances du point M au foyer et à la directrice est exprimé par pg ; mais, à cause des parallèles PN et GD, ce rapport est égal à celui de AG à AD, rapport constant, puisque ces deux dernières longueurs sont constantes.

Au foyer F correspond la directrice DE ; au foyer F' correspond la directrice D'E', droite d’intersection du plan sécant et du plan de contact G'H'.