LIV. III, CIIAP. IX.- COURBES DU SECOND DEGRÉ

tions; des quatre courbes du second degré qui admettent le foyer donné et passent par les trois points donnés, trois sont toujours des hyperboles, la quatrième est une ellipse, une hyperbole ou une parabole suivant la disposition des points.

277 — Le calcul conduit à la même conséquence, si l’on appelle a et p les coordonnées du foyer, x', y'; x'1, y'",

les coordonnées des trois points donnés, S', 8'', leurs distances au foyer, et que l’on représente par l’équation (9) la courbe cherchée, on aura pour déterminer les trois paramètres m, n, p, les trois équations de condition &=±(mx’ + ny' + p),

du premier degré. Chaque combinaison de signes donne un système d’équation ; il y a huit combinaisons; mais on remarque que, si l’on change les signes dans les trois équations, les valeurs de m, n, p changent de signes, et la courbe reste la même; on a donc quatre solutions. En vertu des remarques faites aux n°5 218, 233 et 243, quand on prend le même signe, cela signifie que les trois points appartiennent à une même branche; quand on prend des signes différents, cela signifie que les points appartiennent à des branches différentes.

CONSTRUIRE UNE COURBE DU SECOND DEGRÉ CONNAISSANT UN FOYER ET TROIS TANGENTES.

278— Supposons le problème résolu; si du foyer F on abaisse des perpendiculaires sur les trois tangentes , et qu’on prolonge chacune d'elles d’une longueur égale à elle-même on obtient trois points II, H', H", appartenant au cercle directeur (fig. 160), qui a pour centre le second foyer F', le rayon F'H de ce cercle est égal à l’axe 2a qui passe par les deux foyers. Les deux foyers F, F' avec la lon-

gueur 2 a définissent une courbe du second degré et une seule. Il est aisé de voir que cette courbe est tangente aux trois droites données; en effet, soit M le point où le rayon F'H coupe la droite MT, la somme ou la différence des rayons vecteurs MF' et MF étant égale à F'H ou à 2a, le point M appartient à la courbe ; en outre, la droite MT, étant perpendiculaire sur le milieu de FH, est tangente à la courbe au point M; le problème admet ainsi une solution et une seule.

Si les trois points H, IF, W" étaient en ligne droite , la courbe cherchée serait une parabole ayant pour directrice cette droite.