POINTS ET DROITES IMAGINAIRES

279— Un système de valeurs réelles de x et de y détermine un point du plan; par analogie, nous appellerons point imaginaire un système de valeurs imaginaires attribuées à x et y. Si deux systèmes de valeurs imaginaires sont de la forme x=a + pt, y=f + Si, x = a — 3 i, y=y — Si, nous dirons que les deux points imaginaires sont conjugués.

Une équation du premier degré Ax + By + C=:0 à coefficients réels est vérifiée par les coordonnées d’une infinité de points réels, dont le lieu est une ligne droite; mais elle est vérifiée aussi par une infinité de systèmes de valeurs imaginaires attribuées à x et à y; car, si Fon attribue à x une valeur imaginaire quelconque, on en déduira pour y une valeur imaginaire correspondante. Si Fon attribue à x deux valeurs imaginaires conjuguées, les deux valeurs de y seront aussi conjuguées.

Par analogie, nous appellerons droite imaginaire une équation du premier degré à coefficients imaginaires. II est à remarquer qu’une droite imaginaire passe par un point réel ; Soit, en effet,

(A' + A"*) x + (B' +B" i) y-HC'+ C" t) = 0,

(A'x + B'y-f C') +t (A"x+ B" y + C") = 0 , une droite imaginaire. Cette équation sera vérifiée par les coordonnées du point d’intersection des deux droites réelles

LIV. III, CHAR. IX.— COURBES DU SECOND DEGRÉ. 243 A' Æ + B'y + C'=0,

L’équation générale du premier degré, renfermant trois coefficients, et par suite deux paramètres arbitraires, deux points, réels ou imaginaires, détermineront la droite. Si l’on appelle 3/, y', x" , y ", les coordonnées des deux points donnés, la droite qui passe par ces deux points aura pour équation x' — x' y— y x" — x/ y1' — y''

La droite, qui passe par deux points imaginaires conjugués, est réelle. Soient, en effet, #'=:<* + flt, j/'= y + Si,a//=«— pi, y"= y — 81; l’équation de la droite se réduit à

Le point qui a pour coordonnées

xf + x/' *. = — s —

sera dit le milieu de la droite qui joint les deux points donnés ; si les deux points sont imaginaires conjugués, le milieu sera un point réel.

280 — Deux équations, l’une du premier degré, l’autre du second degré en x et y , admettent deux systèmes de solutions. On dira donc qu’une droite rencontre une courbe du second degré en deux points réels ou imaginaires. Une droite réelle rencontre une courbe du second degré réelle en deux points, réels ou imaginaires conjugués. Ceci permet d’expliquer un fait qui s’est présenté déjà plusieurs fois; quand on cherche, par exemple, le lieu des milieux d’une série de cordes parallèles dans l’ellipse, on trouve par le calcul une droite indéfinie, et cependant le lieu, tel qu’il est défini géométriquement, ne se compose que de la partie du diamètre intérieure à l’ellipse; les sécantes extérieures rencontrent l'ellipse en deux points imaginaires conjugués, le milieu de la corde est encore un point réel, et le diamètre se prolonge ainsi en dehors de la courbe.

281 — Nous avons démontré que cinq points réels déterminent une courbe du second degré; la même mode de démonstration s’applique quand, parmi ces points, se trouvent des points imaginaires conjugués. Supposons, par exemple, que les deux points A et B soient imaginaires conjugués, ainsi que les deux points C et D; on prendra pour axes des coordonnées les deux droites réelles AB et CD ; l'équation

G+S-XM-O

-)- axy = 0

représentera toules les courbes du second degré qui passent par les quatre points A, B, C, D; un cinquième point E, réel ou imaginaire, déterminera le paramètre a.