ÉQUATIONS NON RÉSOLUES

299— Quand l’équation supposée algébrique n’est pas résolue, soit parce que cette résolution n’est pas possible, soit parce que l’on juge inutile de l’effectuer, on peut quelquefois, en s’appuyant sur les théorèmes concernant les racines des équations, construire la courbe.

On aperçoit immédiatement certaines propriétés de la courbe à l’inspection de l’équation ; lorsque l’équation ne ren ferme que des termes qui sont tous de degrés pairs, ou tous de degrés impairs, il est clair, que si elle est vérifiée par x=<x, y=p,elle sera aussi vérifiée par x=z — a, y= — P; or, les deux points (a, p) , (— a, — p) sont placés symétriquement par rapport à l’origine; donc ce point est centre de la courbe.

Si l'équation ne contient que des puissances paires de l’une des variables, y par exemple, les valeurs réelles de y, qui correspondent à une même valeur de x, sont deux à deux égales et de signes contraires; lorsque les axes sont rectangulaires,

on en conclut que les points du lieu sont placés symétriquement par rapport à la droite OX, qui est un axe de la courbe.

Lorsque l’équation de la courbe ne change pas par le changement de x en y et de y en x, si l’équation est vérifiée par x = ol, y=P, elle sera vérifiée également par x = $,y — a; ces deux points sont placés symétriquement par rapport à la bissectrice de l’angle YOX, qui est, dans ce cas, un axe de la courbe.

On voit de même que, si l’équation ne change pas par le changement de x en — y et de y en — x, la bissectrice de l’angle YOX7 est un axe.

Soit

l’équation de la courbe ; on sait que la dérivée y' est donnée par la formule

L’expression de y7 contient à la fois les deux variables x et y, elle donne le coefficient angulaire de la tangente en tout point dont on connaît les deux coordonnées.

300— Exemple I. Construire le lieu des points tels que le produit de leurs distances à deux points fixes F, F' soit égal à un nombre donné.

Prenons pour origine le milieu 0 de la droite FF7, OF pour axe des x, une perpendiculaire pour axe des y ; appelons 2 c la distance FF7, a* le produit constant, l’équation du lieu est (1) y‘+2(a;, + c*)y,-Hxt— cV— a*=0.

Celte équation, ne renfermant que des puissances paires de chacune des variables, chacun des axes est un axe de symétrie de la courbe, et l’origine est un centre. En considérant y* comme l’inconnue, l’équation (1) est du second degré, le binôme B‘ — 4 AC se réduit ici à quantité esssentiel-

lement positive, les racines sont donc toujours réelles. Lorsque le dernier terme (.r’ — c1)’ — a* est positif, les valeurs de y* ont le même signe, et comme leur somme — 2 [x* + c* ) est