L1V. IV, CHAP. I.— COURBES EN COORDONNÉES RECTIL

toujours négative, Jes deux valeurs de y * sont négatives et les quatre valeurs de y imaginaires. Pour que l’équation (1) ait des racines reelles, il faut donc que l’on ait

ou

(a:1— c* — a1) ( x * — c* + a*)<0, et par conséquent

+ et æ*>c’ — a».

Alors une des valeurs de y 1 est positive, l’autre négative.

Prenons OA=OA/ = l/o, + 6*; la courbe est comprise entre les parallèles à l’axe des y menées par les points A et A'. La seconde condition exige que l’on distingue plusieurs cas.

1° a<c. Prenons OB = OB'=: Vc- — a* et par les pointsB

et B; menons des parallèles à OY (fig. 163), la courbe se compose de deux parties comprises, l’une entre les parallèles menées par les points B et A, l’autre entre les parallèles menées par les points B' et A'.

Quand on donne à Fig. i63. x l’une des valeurs

OB ou OA, l’une des valeurs de y s est nulle , l’autre négative; a; croissant de OB à OA, la valeur de y *, qui d’abord est nulle, devient positive et s'annule de nouveau. On obtient ainsi une courbe fermée BCAD. Les valeurs négatives de x donnent une seconde courbe B'C'A'D', égale a la précédente.

Le coefficient angulaire de la tangente est déterminé par la formule

x(x' + yt-~c*) y(x' + y’ + c*)’

Aux points A et B, y est nulle et y' infinie, la tangente est parallèle à Taxe OY. Le numérateur de y' devient nul, quand on a (3) Æ* + y*=c*.

Du point O comme centre, avec OF pour rayon, décrivons un cercle; ce cercle coupe la courbe en quatre points C.DjC^iy, donnés par les formules

Gomme l’arc BC est intérieur au cercle, en l’un quelconque des points de cet arc, la fonclion x* + y’ — c* a une valeur négative et y' est positive. Pour les points de l’arc CA, le facteur a? -f y* — c* est positif et y' négative. Ainsi, de B en C l’ordonnée croît, et de C en A elle décroît; l’ordonnée du pointe est maximum.

2° a=c. La seconde condition est satisfaite quelle que soitas;

as peut varier de — c/2 à c/2. Quand x varie de 0 à c/ 2,

la valeur positive de y’ part de zéro et redevient nulle ; on a une courbe fermée OCADO (flg. 164) qui passe à l’origine ; les valeurs négatives de y donnent une courbe symétrique de la précédente par rapport à OY. Le cercle de rayon OF coupe la courbe en quatre points,

dont les ordonnées ont une valeur numérique ^ maximum.

l’abscisse de ces points a pour valeur absolue — — .

Cette

courbe se nomme lemniscate.

A l'origine, la valeur de y' se présente sous la forme